Имя материала: Общая теория статистики

Автор: Елисеева Ирина Ильинична

5.3. другие формы срдних величин

 

Средняя квадратическая величина

 

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной (х^). Ее формула такова:

 

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х1 = 100 м; х2 = 200 м; х3 =300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы, очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100+ 200 + 300) : 3 =200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3∙(200 м)2 = 120 000 м2. В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)2 + (200 м) + (300 м)2 = 140 000 м . Правильный ответ дает квадратическая средняя:

Во второй части главы будет показано, что главной сферой применения квадратической средней в силу пятого свойства средней арифметической величины является измерение вариации признака в совокупности.

Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:

 

Средняя геометрическая величина

 

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:

 

Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста, о чем сказано в главе 9. Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в  раза, то за два года цена возросла бы в 2,5×2,5 = 6, 25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ:  раза.

Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака. Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный - сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, никак не средний выигрыш; он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.), ни кубическая (793 699 руб.), ни рассматриваемая далее гармоническая средняя (199,98 руб.), слишком близкая к минимальному значению. Только геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ:  руб. Десять тысяч — не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.

 

Средняя гармоническая величина

 

Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.

Формула гармонической средней величины такова:

Например, автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч, а обратно порожняком - со скоростью 60 км/ч.

Какова средняя скорость автомобиля за обе поездки? Пусть расстояние перевозки составляло s км. Никакой роли при расчете средней скорости величина s не играет. При замене индивидуальных значений скорости х1 = 60 и х2 = 40 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время, затраченное на обе поездки, иначе средняя скорость может оказаться любой — от скорости чепепахи ло скорости света.

Арифметическая средняя 50 км в час неверна, так как приводит к другому времени движения, чем на самом деле. Если расстояние равно 96 км, то реальное время движения составит:

То же время дает гармоническая средняя:

 

Понятие степенной средней.

Соотношение между формами средних величин

 

Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем. Степенная средняя степени k есть корень k-й степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в k-й степени на число индивидуальных значений:

При k = 1 получаем арифметическую среднюю, при k -2 - квад-рагическую, при k = 3 - кубическую, при k = 0 - геометрическую, при k = -1 — гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). Если все исходные значения признака равны, то и все средние равны этой константе. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислит среднюю гармоническую

то студент остается в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 |