Имя материала: Общая теория статистики

Автор: Елисеева Ирина Ильинична

9.9. сезонные колебания и полное разложение дисперсии уровней динамического ряда

 

Сезонными называют периодические колебания, возникающие под влиянием смены времени года. Их роль очень велика в агропромышленном комплексе, торговле многими товарами, заболеваемости, строительстве, деятельности рекреационных учреждений, на транспорте. Сезонные колебания строго цикличны - повторяются через каждый год, хотя сама длительность времен года имеет колебания. Для изучения сезонных колебаний необходимо иметь уровни за каждый квартал, а лучше за каждый месяц, иногда даже за декады, хотя декадные уровни могут уже сильно исказиться мелкомасштабной случайной колеблемостью.

Следует еще раз указать, что не всякие различия в месячных или квартальных уровнях являются сезонными колебаниями, а только регулярно повторяющиеся год за годом. Если же различия месячных уровней или любых внутригодичных уровней в один год распределены совершенно иначе, чем в другой год, то это - не сезонные, а случайные колебания т. е. колебания, вызванные причинами, не связанными со сменой времен года. Например, такими могут быть колебания курсов акций, обменных курсов валют, вызванные изменением финансовой политики государства, научно-техническими открытиями, политическими кризисами в стране и мире, слиянием и разделением компаний и т. п.

Поскольку интервальные уровни зависят от длительности интервалов времени, а длина месяцев не равная, точнее проводить анализ се -иных колебаний не по фактическим месячным уровням, а по уровням, пересчитанным на равную (30-дневную) длительность всех месяцев или среднесуточным. Если изучаются сезонные колебания за отдельный год, то обычно тренд не принимается во внимание, и отклонения месячных (30-дневных) уровней, исчисляются от среднемесячного уровня за год. Кроме рассмотренных показателей колеблемости для характеристики сезонных колебаний важное значение имеет форма сезонной «волны», изучаемая с помощью относительных показателей - отношений месячных уровней к среднемесячному (так называемый «индекс сезонности»). Лучше, конечно, изучать сезонные колебания за несколько лет, чтобы сгладить случайные колебания и точнее измерить сезонные. Рассмотрим сезонность смертности в Санкт-Петербурге за 1994 - 1996 гг. (табл. 9.9).

Итак, по данным табл. 9.9 смертность возрастает зимой - в январе, феврале, затем убывает и достигает минимума в августе, после чего возрастает, со странным исключением в ноябре.

Среднее линейное отклонение по модулю составляет 8,76; среднее квадратическое отклонение  ; коэффициент колеблемости =0,0585. Таким образом, сезонная колеблемость лемость смертности в Санкт-Петербурге слабая. Примененная методика не является оптимальной: не учтено наличие тренда, в данном случае - тенденции снижения числа умерших.

Таблица 9.9

Сезонность смертности в Санкт-Петербурге

 

 

 

Месяц

Число умершших в среднем за сутки

В \% к среднемесячному показателю

Отклонения от

 средней,

yi - y̅

 

 

(yi - y̅)2

1994

1995

1996

в среднем за 3 года

Январь

246,8

229,5

243,0

239,8

114,8

31,0

961,00

Февраль

258,9

212,3

209,7

227,0

108,7

18,2

331,24

Март

225,5

220,7

187,6

211,3

101,2

2,5

6,25

Апрель

211,9

212,3

182,8

202,3

96,9

-7,2

51,84

Май

231,0

208,7

180,6

206,8

99,0

-2,0

4,00

Июнь

235,4

205,7

173,1

204,7

98,0

-4,1

16,81

Июль

227,4

211,3

181,8

206,8

99,0

-2,0

4,00

Август

220,6

204,5

171,4

198,8

95,2

-10,0

100,00

Сентябрь

233,5

193,0

178,8

201,8

96,6

-7,0

49,00

Октябрь

229,3

196,0

186,5

203,9

97,7

-4,9

24,01

Ноябрь

212,5

196,7

170,4

193,2

92,5

-15,6

243,36

Декабрь

218,3

228,6

181,5

209,5

100,3

0,7

0,49

Средняя

229,1

210,0

187,3

208,8

100,0

-

1792,24

 

Наиболее точную и полную методику анализа с разложением ряда динамики на три компонента: тренд, сезонную колеблемость и случайную колеблемость рассмотрим на примере динамики импорта КНР по кварталам за 1993 - 1995 гг. (табл. 9.10).

Анализ в табл. 9.10 проводится по следующей методике:

1. По месячным или квартальным данным за все годы вычисляется уравнение тренда и выравненные по нему уровни, обозначаемые у̂ij, где i - номер года; j - номер квартала или месяца.

2. Каждый фактический уровень делится на соответствующий выравненный для расчета индексов сезонности Сij.

3. Индексы сезонности усредняются за все годы, получаем средние индексы сезонности для каждого квартала или месяца:

                                                                                                                                                              (9.39)

 

где     i - номер года;

k - число лет;

j - номер квартала, месяца.

4. Выравненные уровни умножаются на средние индексы сезонности для соответствующих кварталов или месяцев, получаем выравненные уровни с учетом сезонности y̅'ij

                                                                                                             (9.40)

5. Вычисляются отклонения (и их квадраты) за счет сезонности:

                                                                                                                                    (9.41)

6. Вычисляются отклонения (и их квадраты) за счет случайной колеблемости:

                                                                                                                                  (9.42)

7. Вычисляются общие отклонения:

                                                                                                                     (9.43)

 

Уровни в табл. 9.10 - это объем импорта в КНР по кварталам (в ценах fob, т. е. «franco board» - с учетом затрат на погрузку на борт корабля или в вагоны, на грузовики, но не включая стоимость перевозки, фрахта).

Прежде всего отметим, что при наличии существенных сезонных колебаний параметры тренда будут вычислены правильно только при условии, что первый и конечный уровни относятся к одному и тому же кварталу (месяцу), иначе сезонность исказит параметры тренда. Поэтому, в расчет включаем и I квартал 1996 г.

Графическое изображение динамического ряда с наличием сезонных колебаний возможно двумя способами. Первый способ - обычная линейная диаграмма в декартовой системе координат, аналогичная рис. 9.3

 

          

    Рис. 9.3. Динамика импорта КНР, млрд долл. США

.

Второй способ - изображение в полярных координатах. Величина уровня изображается расстоянием от центра, между месяцами угол 30°, между кварталами - 90°. График имеет вид разворачивающейся спирали, если тренд направлен к возрастанию, и сворачивающейся, если тренд направлен к уменьшению уровней. Сезонные колебания выражены тем, что точки четвертых кварталов далеко выходят за окружность, радиус которой - средний уровень 1993 г., а точки первых кварталов - внутри нее (рис. 9.4).

Средний уровень ряда

 

                         

 

Тренд имеет линейную форму со среднегодовым абсолютным приростом

                         

 

Рис. 9.4, Сезонность импорта КНР, млрд долл. США

 

Средние индексы сезонности за 3 года (для 1 квартала - за 4 года) составляют:

Квартал

Ci

I

0,7678

II

1,0011

III

1,0294

IV

1,2759

 

Таким образом, наблюдается сезонный спад импорта в I квартале на 23 с лишним процента и подъем в конце года, а уровни II и III кварталов почти равны средним квартальным значениям. Такая форма сезонных колебаний весьма далека от плавной синусоидальной кривой и к ней неприменима модель тригонометрического вида:

                                                          ,

 

где aj - угол, изменяющийся от 0° в начале года до 360° в конце, т. е. на 30° на месяц или на 90° за квартал.

 

Методика, изложенная выше, имеет более общий характер, и при наличии достаточно дробной по частям года информации, может быть использована для моделирования сезонных колебаний любых форм, в том числе с разными «пиками» и «провалами». Следует, однако, учитывать, что чем более дробные единицы времени охватывает информация, тем больше к сезонным колебаниям примешиваются случайные или связанные с недельным трудовым циклом колебания.

При изучении торговых операций или работы транспорта, особенно в крупных городах, следует изучать и измерять даже внутри-суточную колеблемость продажи или пассажиропотоков так как важно знать распределение во времени и величину «пиковых нагрузок». При изучении внутрисуточной колеблемости, как правило, можно пренебречь трендом и применять более простую методику, изложенную в начале данного раздела, усреднив почасовые данные за все рабочие дни недели.

Общую дисперсию уровней динамического ряда, измеряемую суммой квадратов отклонений этих уровней от их средней величины  можно разложить на составляющие:

1. Дисперсия за счет тренда:

                                                                                                                                         (9.44)

 

2. Дисперсия за счет сезонных колебаний:

                                                                                                                    (9.45)

 

3. Дисперсия за счет. случайных колебаний (остаточная):

                                                                                                                  (9.46)

 

                                                                                                            (9.47)

 

По данным табл. 9.9 имеем:

общую дисперсия уровней, равную 480,4;

дисперсию за счет тренда, которая составляет 168,1;

дисперсию за счет сезонности  =389,3;

случайную дисперсию  =18,4;

дисперсию случайную + дисперсию сезонную:

                                                  

Легко заметить, что сумма составляющих дисперсий больше общей дисперсии, что кажется ошибкой. На самом деле, однако, нужно учесть, что колебания - величина не скалярная, а векторная, т. е. имеет не только размер, но и направление, знак. Тренд отделен от колебаний, а все случайные и сезонные колебания могут иметь и совпадающие и несовпадающие знаки, т. е. они могут частично погашать друг друга, что имеет место особенно в конце изучаемого периода. Поэтому общая колеблемость, измеряемая суммой квадратов отклонений (9.47) значительно меньше, чем сумма дисперсий за счет сезонной и случайной колеблемости. По данным табл. 9.10 общая колеблемость составила 288,2. Находим отношение этой величины к сумме сезонной и случайной дисперсий:

288,2 : (389,3 + 18,4) = 0,70706.

На эту величину корректируем сезонную и случайную суммы квадратов отклонений и окончательно получаем следующее разложение общей дисперсии уровней ряда (табл. 9.11)

Из табл. 9.11 следует ряд выводов: основным источником различия квартальных уровней импорта КНР за изучаемый период времени являлась сезонная колеблемость. Случайная колеблемость существенной роли не играла. Проверка существенности различий по критерию Фишера показала, что и тренд и сезонная колеблемость существенны, как и различия уровней в целом. Табличное значение F в несколько раз меньше фактических, так что вероятность существенности различий много ближе к единице, чем к 0,95, для которой приведены табличные значения F. Отметим, что при изучении сезонных колебаний по месячным уровням, сезонная дисперсия будет иметь (12-1) степень свободы. Сумма степеней свободы сезонной и случайной дисперсий равна числу уровней ряда за вычетом числа параметров тренда.

 

Таблица 9.11

Разложение суммы квадратов отклонений уровней динамического ряда от средней на составляющие

 

 

Источник

дисперсии

Cyмма квадратов отклонений

Число

степеней свободы

Дисперсия

на I

степень

свободы

Згачения  f - критерия

величина

Доля, \%

фактическое

табличное с вероятностью 0,95

Общая дисперсия

480,4

100,0

12

40

21,1

3,28

в том числе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тренд

168,1

36,8

1

168,1

103,7

5,32

сезонность

275,2

60,3

3

91,7

56,6

4,07

случайная (остаточная) колеблемость

13,0

2,9

8

1,62

1

 

Сделаем прогноз объема импорта КНР с учетом тренда и сезонности на IV квартал 1997 г. Уровень тренда

ŷ1997, IV = 26,84 + 0,9747·13 = 39,51.

Умножим уровень тренда на средний индекс сезонности IV квартала:

39,51·1,2759 = 50,41 (млрд долл. США).

Смысл прогноза в том, что при сохранении до конца 1997 г. измеренного за 1993 - 1995 гг. тренда и характера сезонных колебаний, импорт составит 50,41 млрд долл. США, Это точечный прогноз. Проблема измерения средней ошибки прогноза с учетом тренда и сезонности сложна и здесь не излагается.

Иногда полученные удельные веса составляющих в общей сумме квадратов рассматривают как характеристики роли разных комплексов факторов в развитии изучаемого объекта. К таким оценкам следует подходить очень осторожно. Дело в том, что различия уровней за счет тренда с течением времени накапливаются, и чем больший период времени подвергается анализу, тем более значительной становится роль комплекса факторов, обусловливающих тенденцию динамики в сравнении с факторами колеблемости, не имеющей кумулятивного эффекта.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 |