Имя материала: Общая теория статистики

Автор: Елисеева Ирина Ильинична

10.2. индекс как показатель центральной тенденции (индекс средний из индивидуальных)

 

Вы можете услышать, что уровень потребительских цен понизился или повысился. Речь в этом случае идет об индексе цен на потребительские товары. Общее изменение образуется под влиянием изменений цен на отдельные товары. Таким образом, мы имеем ряд отношений:

                                           и т.д.

Эти отношения есть не что иное, как индивидуальные индексы, и сводный индекс представляет собой средний из них:

                                                          ,

 

где j - номер товара.

Так как средняя есть показатель центра распределения, то и сводный индекс можно назвать показателем центральной тенденции. Проблема состоит в том, как получить этот сводный индекс. Впервые она возникла при попытке оценить совокупное изменение цен либо в виде отношения сумм цен:

                          ,

 

либо как среднее из изменений цен на отдельные товары:

                                                                                (10.1)

 

В том и другом варианте представлены невзвешенные средние. Первый вариант исходит из того, что цена рассчитывается за единицу товара, например за 1кг, и сумма цен может рассматриваться как набор слагаемых с равными весами. Однако, этот вариант не отвечает задаче осреднения показателей изменений цен на отдельные товары. Второй 'вариант настораживает тем, что согласно общему правилу средняя из относительных величин должна вычисляться как средняя взвешенная. Действительно, если говорить конкретно об измерении динамики цен на все продовольственные или непродовольственные товары, то ясно, что если цены на ювелирные изделия из золота удвоятся, а цены на хлеб останутся неизменными, это не значит, что в целом цены выросли на 50\% ((2+ 1)/2 = 1,5). Приведенный пример показывает, что индекс цен для каждого товара должен сопровождаться неким «весом», который позволяет оценить относительную значимость этого индекса для потребителя. В качестве веса используют удельный вес в общей стоимости покупок: в базисном периоде:

 

                         

 

Если обозначить удельный вес отдельных затрат с1ц„ то получим общий индекс цен как средний арифметический взвешенный из индивидуальных индексрв цен:

                                                                                                      (10.2)

т.е. Ip = i̅p..

 

Используя формулу (10.2) можно получить общее изменение цен на продукты по данным табл. 10.1.

Часто можно встретить утверждение, что чем сильнее варьируют веса средней, тем значительнее отличие невзвешенной средней от взвешенной. Покажем ошибочность этого утверждения применительно к индексу среднему из индивидуальных. Рассмотрим два примера А и Б.

А. Равенство взвешенной и простой средних при сильной вариации весов.

В табл. 10.1 представлены данные примера А.

Таблица 10.1

 

 

№ товара

Цены

Индекс

ip

Доля в

базисной выручке

d0

 

ip· d0

Вариаця долей

Р0

Р1

(dj0 – d0)

(dj0 – d0)2

1

10

11

1,1

0,40

0,44

0,20

0,0400

2

15

30

2,0

0,25

0,50

0,05

0,0025

3

20

28

1,4

0,15

0,21

-0,05

0,0025

4

25

40

1,6

0,10

0,16

-0,10

0,0100

5

30

27

0,9

0,10

0,09

-0,10

0,0100

Итого

 

 

 

 

1,4

1,00

1,40

0

0,0650

 

Невзвешенный средний индекс цен

 Среднее значение веса   

Взвешенный средний индекс цен   

Результат совпадает с простой средней. Между тем вариация весов значительна, стандартное отклонение

                                         

Коэффициент вариации весов

                                            , т.е. 57\%.

 

Б. Неравенство взвешенной и простой средних при слабой вариации весов.

В табл. 10.2 представлены данные примера Б.

Таблица 10.2

 

 

 

№ товара

Цены

Индекс

ip

Доля, в базисной выручке

d0

 

 

ip· d0

Вариация долей

Р0

Р1

(dj0 – d0)

(dj0 – d0)2

1

10

11

1,1

0,15

0,165

-0,05

0,0025

2

15

30

2,0

0,26

0,520

0,06

0.0036

3

20

28

1,4

0,19

0,266

-0,01

0,0001

.4

25

40

1,6

0,25

0,400

0,05

0,0025

5

30

27

0,9

0,15

0,135

-0,05

0,0025

Итого

X

X

1,4

1,00

1,486

0

0,0112

 

невзвешенный средний индекс цен:

взвешенный средний индекс цен   ;

вариация весов    

vd = 0,2366 или 23,7\%, т. е. вариация весов намного слабее, чем в примере А.

Рассмотрим, в чем секрет таких соотношений? Обратимся к формуле взвешенной средней:

 

                         

 

где     x̅, f̅ - простые средние;

Dх, Df - отклонения от них.

 

Представим последнее выражение как:

 

         

 

Числитель второго слагаемого можно представить через коэффициент корреляции между х и f:

                                                                       (10.3)

 

Эта формула аналогична формуле (5.6). Следовательно, средняя взвешенная равна простой средней, если:

• вариация признака х, отсутствует, т. е. sx = 0;

• вариация -весов fi отсутствует, т. е. vf = 0;

• нет корреляции между вариациями признака и весов, т. е. rxf = 0 (хотя бы сами х, и f, варьировали как угодно сильно).

Отношение взвешенной средней и простой можно выразить следующим образом:

                                                                                                                  (10.4)

 

Поскольку различие взвешенной и простой средних зависит от корреляции значений признака и веса, постольку оно может оказаться большим при слабой вариации весов, чем при их сильной вариации (см. главу 5).

Рассмотрим соотношения между индексами (10.1) и (10.2) на примере табл. 10.3.

Таблица 10.3

Данные розничной торговли города N

 

 

Выручка в мае

Отноше

ние цен в июне к ценам

в мае, \%

ip = p1:p0

Выручка с

учетом изменения цен,

млн руб.

q0p1=q0p0ip

абс. млн. руб.

относит.

 

q0p0

 

d0

1

2

3

4

5

Мясо и мясопродукты

2352,0

0,271

110,5

2599,0

Рыба и рыбопродукты

735,0

0,085

112,2

824,7

Масло животное

2058,0

0,237

103,2

2123,8

Масло растительное

9,8

0,001

105,6

10,4

Молоко и молочные продукты

882,0

0,102

102,4

903,2

Сахар

Итого

2644,0

8680,8

0,304

1,000

    107,3

    641,2*

2837,0

9298.1

* Обычно  ip  не суммируются

 

 

 

Обратите внимание на данные гр. 5 табл. 10.3: произведение q0p0ip имеет не просто техническое значение взвешивания индивидуального индекса, но дает определенный содержательный результат -показатель условных затрат на покупку с учетом изменения цен  q0 · p0 · ip  = q0 ·  p1

Это дает право представить формулу (10.2) в виде:

                                                                                                                                       (10.5)

 

Выражение (10.5) получило известность как индекс Ласпейреса, предложившего эту формулу в 1864 г. По данным табл. 10.3

                         

 

т. е. цены возросли в среднем на 7,1\%. Если воспользоваться формулой (10.1), то Ip = 641,2/6 = 1,069 • 100 = 106,9\%, т. е. в среднем цены возросли на 6,9\%. Отличие от среднего взвешенного арифметического индекса составляет 0,2\%.

Мы рассмотрели определение среднего изменения на основе средней арифметической из индивидуальных, но ведь могут использоваться и другие виды средних: средняя геометрическая, средняя гармоническая и т. д. - невзвешенные и взвешенные. Используя среднюю геометрическую невзвешенную, получаем:

Средняя гармоническая всегда дает результат, меньший средней арифметической. Применяя среднюю гармоническую невзвешенную, получаем:

 

Опять-таки деление единицы на каждый индекс предполагает равное значение изменения цен на товары, что не соответствует практике.

Используя в качестве весов затраты на покупку в отчетном периоде, получаем сводный индекс цен как средний гармонический взвешенный из Индивидуальных индексов цен:

                                                                                                                                          (10.6)

 

В формуле (10.6) и далее для простоты мы опустили подстрочный значок, соответствующий номеру товара (элемента), хотя, конечно же, суммирование и в числителе, и в знаменателе производится по всему набору товаров (элементов).

Рассчитаем этот индекс по данным табл. 10.3. Кроме того, нам потребуются дополнительные данные. Как всегда, лучшей формой представления цифровых данных является таблица. Представим все необходимые данные в табл. 10.4, используя вместо названий номера продуктов.

Таблица 10.4

                  Данные розничной торговли города

 

№ п/п

Относительное изменение количества купленных продуктов в июне по сравнению с маем, \%

ip =q1 : q0

Выручка в июне, млн руб.

 

  q1·p1

Условная выручка без учета изменения цен, млн руб.,

 

  q1·p0 =  q1·p1 : ip

 

1

98,5

2560,0 .

2316,7

2

100,3

827,2

737,3

3

97,8

2077,1

2012,7

4

102,0

10,6

10,0

5

100,0

903,2

882,0

6

98.0

2780,3

2591,1

Итого

596,6*