Имя материала: Прогнозирование и моделирование в социальной работе

Автор: Сафронова Валентина Михайловна

Прогноз состояния бюджетов семей, разделенных по группам и составам

 

Для исследования соотношения между потребительскими расходами и распределяемым доходом используются перекрестные данные о семейных бюджетах, относящиеся к некоторому фиксированному периоду времени. Прогноз строится с использованием обобщенного метода наименьших квадратов Гольдбергера. Обозначим через Y величину потребительских расходов, а через X — объем распределяемого дохода. Соберем данные о бюджете 10000 семей и образуем пары соответствующих измерений для величин Хi Yi (i = 1, 2,..., 10000). Предположим, что мы уже разделили семьи на группы по их размеру и составу и рассматриваем интересующую нас связь между Y и X внутри конкретной группы. Мы не ожидаем, что у всех семей этой группы, имеющих один и тот же доход X', будут одинаковые потребительские расходы Y'. Одни потратят больше других, а некоторые, наоборот, меньше, однако мы надеемся, что величины расходов сгруппируются вокруг некоторого значения, соответствующего тому объему дохода, о котором идет речь. Эта идея находит свое формальное воплощение в новой гипотезе о характере линейной зависимости:

                                                                     (1)

Здесь символом U обозначена переменная, принимающая то положительные, то отрицательные значения. Таким образом, если мы рассмотрим подгруппу семей, располагающих доходом X', то центральным значением их потребительских расходов окажется величина а + bХ', в то время как реальные объемы потребления для семей данной подгруппы будут равны а + bХ' +U1, а + bХ'+ U2 и т.д., где U1, U2, ... измеряют отклонения потребительских расходов каждой отдельной семьи от центрального значения а + bХ'.

Существует три способа рационального объяснения включения в уравнение (1) стохастического члена, причем любое из этих объяснений не исключает других.

Во-первых, мы можем предположить, что потребительские расходы для всех и каждой из рассматриваемых семей были бы полностью объяснены, если бы мы знали все факторы, влияющие на эти расходы, и располагали необходимыми данными. Одинаковые по размеру и составу семьи могут отличаться возрастом родителей и детей, сложившейся динамикой дохода (возрастает он или убывает), бережливостью членов семьи и т.д. Многие из этих факторов не измеряются количественно, не квантуются и даже если такое измерение достижимо, то получение всех необходимых данных на практике оказывается невозможным.

Поскольку среди многочисленных факторов, влияющих на потребительский спрос конкретной семьи, многие действуют в противоположных направлениях, можно рассчитывать, что малые значения U, будут встречаться чаще, чем большие. Мы подошли, таким образом, к пониманию U как случайной переменной, обладающей вероятностным распределением с нулевым средним и с конечной дисперсией. Это позволяет нам обращаться с переменной U как со стохастическим возмущением (ошибкой). Ввиду того, что U включает много факторов, которые, по-видимому, можно считать независимыми, обращение к центральной предельной теореме показывает нам выбор для U нормального распределения.

Вторым оправданием присутствия в экономических соотношениях возмущающего члена служит то обстоятельство, что только с его помощью можно отразить вечный и непредсказуемый элемент случайности человеческих реакций, сплошь и рядом оказывающий воздействие на суммарный эффект существенных факторов и поэтому непосредственно влияющий на наблюдаемые значения переменной Y.

Третьим источником ошибок являются ошибки наблюдения или измерения.

Итак, пусть существует линейное соотношение между переменной Y, k-1, объясняющими переменными Х2, Х3 ..... Xk и возмущением U. Если мы имеем выборку из п наблюдений над переменными Y и Xj, j = 2, 3, ..., k, то можно записать

Коэффициенты b и параметры распределения U неизвестны. Уравнения, соответствующие всем п наблюдениям, могут быть записаны компактно в матричной форме

                                                                                        (2)

где

         

Соглашение, в силу которого через Xki обозначается i-е наблюдение переменной Xk, означает, что индексы в матрице X расположены в порядке, обратном общепринятому, когда первый индекс — номер строки, второй — номер столбца.

Примем простую гипотезу о нулевом значении математического ожидания стохастического возмущения U: E[U] = 0 и введем матрицу V:

где UT — вектор-строка, полученная транспонированием вектора-столбца U.

По диагонали матрицы V расположены дисперсии элементов вектора U, остальные элементы — ковариации элементов вектора U:

Задача прогноза состоит в предсказании изолированного значения зависимой переменной для заданного вектора-строки Х0. Мы можем записать:

где U0 — истинное, но неизвестное значение возмущения в прогнозируемый момент. Пусть

Подпись: (4) 

(5)



(6)

где W— вектор размерности (n´1) прогнозируемого возмущения вектором выборочных возмущений. Сформулируем линейный прогноз:

Р = CTY,                                                                                                              (7)

где С — вектор размерности (n´1), состоящий из п констант.

Чтобы значение Р было наилучшим прогнозом, необходимо выбрать вектор С, минимизирующий дисперсию прогноза:

Для определения ошибки прогноза вычтем из уравнения (7) уравнение (3); подставим в результат значение Y из (2) и, выполнив соответствующие преобразования, получим:

Из условия несмещенности прогноза следует, что вектор С должен удовлетворять равенству:

                                                                                (9)

Тогда для ошибки прогноза имеем P – Y0 =  CTU - U0, и, поскольку (Р – Y0) — скаляр, дисперсия прогноза равна

     (10)

 

Чтобы минимизировать (10) при условии (9), образуем функцию

где L — вектор размерности (k´l), образованный множителями Лаг-ранжа. Затем продифференцируем Ф по векторам С и L и приравняем вектор частных производных к нулевому вектору.

Рассмотрим

Учитывая, что V— симметричная матрица, то есть для I ¹ j:

Возьмем частные производные по элементам вектора С:

За исключением множителя 2, правые части этих уравнений содержат элементы матричного произведения VС, которые образуют n-мерный вектор-столбец. Следовательно,

                Аналогично получаем:

В результате дифференцирования имеем:

                                                               (11) (12)

Примем вектор частных производных равным нулевому вектору и получим систему:

                                                                  

которая может быть записана в виде

                                                                                 (13)

Из (13)получаем:

Применив правило отыскания матрицы, обратной к матрице, подвергшейся разбиению, имеем:

                                                             (14)

где Н = (-ХТ V-1Х)-1

 Из (14)получаем:

            (15)

где I - единичная матрица.

Следовательно, наилучшим нелинейным несмещенным прогнозом будет:

Учитывая, что e=(Y - XB) — вектор остатков, соответствующий методу наименьших квадратов,

Р = Х0В+ WTV-1e.                                                       (16)

Это и есть основной результат, полученный Гольдбергером для предсказания с помощью обобщенной модели наименьших квадратов.

 

Задача. Исследовать уровень ежемесячного среднедушевого потребления товаров первой необходимости и сделать прогноз этого уровня на будущее для семей со средним уровнем достатка.

Имеются данные среднемесячных затрат на питание по основным группам продуктов (распределяемый доход) и общих затрат на товары первой необходимости в выбранной группе семей в сопоставимых денежных единицах за 5 лет. Общая сумма затрат на товары первой необходимости включает, кроме затрат на указанные группы продуктов, затраты на фрукты, кондитерские изделия, а также непродовольственные товары повседневного спроса (мыло, газеты и т.п.).

Оценить необходимые затраты на эти товары при сохранении установившегося рациона питания, если цены на преобладающие продукты питания (колонки 2, 3, 4, 5) увеличатся в 1,5 раза по сравнению с последним годом.

Период

времени

(годы)

 

 

Затраты

на мясные

продукты

(в мес.)

 

Затраты на

молочные

продукты

(в мес.)

 

Затраты

на оно щи

(в мес.)

 

 

Затраты

на мучные

и крупяные

изделия

(в мес.)

Общие затраты

на товары первой

необходимости

(в мес.)

 

1

2

3

4

5

9

9,5

10

12

15

3

3,7

4,5

5

6

6

6,5

9

10

11

2

3

5,5

6

8

40

50

54

70

85

Решение. В качестве математической модели зависимости общих затрат на товары первой необходимости от цен на основные продукты питания возьмем линейное соотношение (2). На основе данных задачи сформируем матрицы X, Y, Х0:

                                      (17)

Х0 =(1 22,5 9 16,5 12).

Вычислим определитель квадратной матрицы X

detX= |X| = 2,9.

Так как detX ¹ 0, матрица X является невырожденной и, следовательно, для нее существует единственная обратная матрица Х-1 и уравнение (15) может быть упрощено раскрытием скобок:

А это означает, что прогнозируемое значение среднемесячных затрат на основные продукты питания в следующем году может быть вычислено по формуле:

                                                   (18)

Для вычисления матрицы, обратной к X, воспользуемся известной теоремой. Совместное преобразование матриц Х и Е (единичной) будем осуществлять таким образом, чтобы в результате каждого шага один из векторов матрицы X становился единичным.

Для преобразования k-го вектора матрицы Х к единичному пересчет элементов матрицы X осуществляется по следующим формулам:

где i— номер строки;. J — номер столбца; верхним индексом * отмечены пересчитанные изданном шаге значения.

Элементы xkk каждого последующего шага выделены жирным шрифтом.

 

 

1

9

3

6

2

1

0

0

0

0

1

9,5

3,7

6,5

3

0

1

0

0

0

1

10

4,5

9

5,5

0

0

1

0

0

1

12

5

10

6

0

0

0

1

0

1

15

6

11

8

0

0

0

0

1

1

9

3

6

2

1

0

0

0

0

0

0,5

0,7

0,5

1

-1

1

0

0

0

0

1

1,5

3

3,5

-1

0

1

0

0

0

3

2

4

4

- 1

0

0

1

0

0

6

3

5

6

- 1

0

0

0

1

1

0

-9,6

-3

-16

19

-18

0

0

0

0

1

1,4

1

2

-2

2

0

0

0

1

0

0,1

2

1,5

1

-2

1

0

0

0

0

-2,2

1

-2

5

-6

0

1

0

0

0

-5,4

-1

-6

11

-12

0

0

1

1

0

-16,2

0

-22

34

-36

0

3

0

0

1

3,6

0

4

-7

8

0

-1

0

0

0

4,5

0

5,5

-9

10

1

-2

0

0

0

-2,2

1

-2

5

-6

0

1

0

0

0

-7,6

0

-8

16

-18

0

1

1

1

0

4,7

0

0

-10

13,5

0

0,25

-2,75

0

1

-0,2

0

0

1

-1

0

-0,5

0,5

0

0

- 0,725

0

0

2

-2,375

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |