Имя материала: Биомеханика

Автор: Владимир Иванович Дубровский

Глава 3 кинематика

 

Раздел механики, в котором изучается механическое движение, но не рассматриваются причины этого движения, называется кинематикой (гр. kinema — движение). Описание движения как тела человека (его частей) в различных видах спорта, так и всевозможных спортивных снарядов является неотъемлемой частью спортивной биомеханики.

 

3.1. Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Вестибулярный аппарат как инерциальная система ориентации

 

В подавляющем большинстве случаев взаимное расположение интересующих нас тел изменяется с течением времени и эти изменения имеют практическое значения. Например, вращение Земли вокруг своей оси вызывает смену дня и ночи, а вращение Земли вокруг Солнца — смену времен года. Для описания подобных изменений в физике вводят понятие механического движения.

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел.

Прежде чем описывать само движение нужно выбрать способ количественного описания положения тела. В физике для этого используют систему отсчета.

Система отсчета — это некоторое тело, относительно которого указывают положения других тел, связанная с ним система координат и часы для отсчета времени.

Выбор тела отсчета, системы координат и точки, в которую помещается ее начало, зависит от решаемой задачи. Например, для того, чтобы указать положение марафонца на дистанции, систему координат связывают с Землей, а начало отсчета помещают в месте старта. Если же требуется описать движение гимнаста, крутящего «солнце» на перекладине, то начало координат связывают с перекладиной. Тип выбираемой системы координат также определяется особенностями решаемой задачи.

В физике используют два основных типа системы координат: прямоугольный и полярный. На плоскости эти системы показаны на рис. 3.1.

В прямоугольной системе положение тела указывается с помощью его координат по двум осям. В полярной системе для определения положения тела указывают его удаление от начала отсчета (R) и угол (φ), который радиус-вектор тела образует с выбранным направлением

Рис. 3.1. Типы систем координат

Рис. 3.2. Различие в положениях двух одинаковых тел

 

(ось X). Понятно, что для тела, размеры которого значительны, этого не достаточно.

Например, на рис. 3.2 координаты центров квадратов одинаковы.

Но положения этих квадратов различны. Однако во многих случаях размеры тел при описании их движения не имеют существенного значения. Например, не имеют значения размеры планет при описании их движения вокруг Солнца. В этих случаях тела называют материальными точками.

Материальная точка — тело, размерами и внутренней структурой которого в данных условиях можно пренебречь.

Ответ на вопрос о том, можно ли рассматривать тело как материальную точку, зависит от решаемой задачи. Так, при определении средней скорости бегунаего собственными размерами безусловно можно пренебречь. В то же время при описании движения тела прыгуна в воду его нельзя рассматривать как материальную точку, поскольку в данном случае значение имеет вид прыжка и чистота его исполнения.

Рассмотрим, какие характеристики используются для описания движения материальной точки.

Движущаяся точка описывает в пространстве некоторую непрерывную линию, которая называется траекторией движения (рис. 3.3).

Траекторией называется линия, которую описывает движущаяся точка по отношению к данной системе отсчета.

Путем (s), пройденным телом, называется длина траектории.

Перемещением () тела называется вектор, соединяющий начальную точку траектории с конечной.

 

Рис. 3.3. Траектория движения точки и ее перемещение

 

В начальный момент времени (t1) точка находится в положении М1 которое задается радиус-вектором R1 (ее координаты обозначены х1 и y1). В конечный момент времени (t2) точка находится в положении М2 с радиус-вектором R2 (координаты — х2 и y2).

Примеры траекторий некоторых реальных тел показаны на рис. 3.4—3.6.

На рис. 3.4. представлены траектории движения снаряда, выпущенного из миномета под углом 75° (а), и пули при горизонтальном направлении выстрела (б). На рис. 3.5 показана траектория, которую описывает в горизонтальной плоскости центр масс тела стоящего человека (статокинезиграмма). На рис. 3.6 приведена стробоскопическая фотография полета мяча.

Рис. 3.4. Траектория движения снаряда миномета (а) и пули (б). (Пунктиром показана ориентация ствола)

Рис. 3.5. Статокинезиграмма стоящего человека

 

Рис. 3.6. Стробоскопическая фотография полета мяча

 

В разных системах отсчета траектории движения различны. Так, траектория точки А, находящейся на ободе катящегося колеса, в системе, связанной с осью колеса (О), представляет собой окружность, в то время как относительно земли — это циклоида (пунктирная линия) (рис.3.7).

 

Рис. 3.7. Траектории точки А: окружность — относительно оси колеса; циклоида — относительно земли

 

У человека имеется орган, который по существу является инерциальной системой ориентации — это вестибулярный аппарат. Он расположен во внутреннем ухе и состоит из трех взаимно перпендикулярных полукружных каналов и полости — преддверия. На внутренней поверхности стенок преддверия и в части полукружных каналов находятся группы чувствительных нервных клеток, имеющих свободные окончания в форме волосков. Внутри преддверия и полукружных каналов имеется студенистая масса (эндолимфа), содержащая мелкие кристаллы фосфорнокислого и углекислого кальция (отолиты).

При движении головы в пространстве (с ускорением или замедлением) эндолимфа вследствие инерции отстает от движения костных стенок лабиринта и, следовательно, перемещается относительно них в обратном направлении. Перемещение эндолимфы вызывает сгибание волосков нервных клеток, в которых при этом возникают импульсы, сигнализирующие в центральную нервную систему о направлении и величине ускорения перемещения эндолимфы. При вращательном движении головой эти явления наиболее выражены в том полукружном канале, который лежит преимущественно в плоскости вращения.

При прямолинейном движении аналогичные явления наиболее выражены в преддверии, причем в этом случае действие перемещения жидкости усиливается перемещением вместе с ней отолитовой массы.

Вестибулярный аппарат, как и любая другая биофизическая система, не различает силы тяжести и силы инерции, а реагирует на равнодействующую этих сил. Если силы инерции будут периодически воздействовать на вестибулярный аппарат, например, при качке корабля, то это может привести к морской болезни.

От состояния вестибулярного аппарата зависит способность к ориентированию в пространстве, а также способность сохранения равновесия тела. При нарушении функции вестибулярного аппарата наблюдается промахивание при пальцево-носовой пробе, а также неустойчивость в пробе Ромберга.

3.2. Скорость. Средняя и мгновенная скорость. Временные характеристики движения

 

Для того, чтобы охарактеризовать насколько быстро изменяется в пространстве положение движущегося тела, используют специальное понятие скорость.

Средней скоростью тела на данном участке траектории называется отношение пройденного пути ко времени движения:

(3.1)

 

Если на всех участках траектории средняя скорость одинакова, то движение называется равномерным.

Вопрос о скорости бега является важным в спортивной биомеханике. Известно, что скорость бега на определенную дистанцию зависит от величины этой дистанции. Бегун может поддерживать максимальную скорость только в течение ограниченного времени. Средняя скорость стайеров обычно меньше, чем спринтеров. На рис. 3.8. показана зависимость средней скорости ( V) от длины дистанции (S).

Рис. 3.8. Зависимость средней скорости бега от длины дистанции

 

График зависимости проведен через точки, соответствующие средним скоростям для всех рекордных результатов у мужчин на дистанциях от 50 до 2000 м. Средняя скорость растет с увеличением дистанции до 200 м, а затем убывает.

В табл. 3.1 приведены мировые рекорды скорости.

Для удобства проведения вычислений среднюю скорость можно записать и через изменение координат тела. При прямолинейном движении пройденный путь равен разности координат конечной и начальной точек. Так, если в момент времени t0 тело находилось в точке с координатой x0, а в момент времени t1 — в точке с координатой x1 , то пройденный путь Δх = х1 — х0, а время движения Δt = t1 — t0 (в физике и математике принято использовать символ Δ для обозначения разности однотипных величин или для обозначения очень маленьких интервалов). В этом случае

(3.2)

Таблица 3.1

Мировые спортивные рекорды

Вид состязаний и дистанция

Мужчины

Женщины

 

 

время, показанное на дистанции

средняя скорость, м/с

время, показанное на дистанции

средняя скорость, м/с

Бег

100 м

9,83с

10,16

10,49 с

9,53

200 м

19,72 с

10,14

21,34 с

9,37

400м

43,29 с

9,24

47,60 с

8,40

800м

1 мин 41,73 с

7,86

1 мин 53,28 с

7,06

1500м

3 мин 29,46 с

7,16

3 мин 52,47 с

6,46

5000 м

12 мин 58,39 с

6,42

14 мин 37,33 с

5,70

10000 м

27 мин 13,81 с

6,12

30 мин 13,75 с

5,51

Марафон (42 км 195 м)

2 ч 6 мин 50 с

5,5

2 ч 21 мин 0,6 с

5,0

Бег на коньках

500м

36,45 с

13,72

39,10 с

12,78

1500м

1 мин 52,06 с

13,39

1 мин 59,30 с

12,57

5000м

6 мин 43,59 с

12,38

7 мин 14,13 с

11,35

10000 м

13 мин 48,20 с

12,07

 

 

Плавание

100 м (вольный стиль)

48,74 с

2,05

54,79 с

1,83

200 м (вольный стиль)

1 мин 47,25 с

1,86

1 мин 57,55 с

1,70

400 м (вольный стиль)

3 мин 46,95 с

1,76

4 мин 3,85 с

1,64

100 м (брасс)

1 мин 1,65 с

1,62

1 мин 7,91 с

1,47

200 м (брасс)

2 мин 13,34 с

1,50

2 мин 26,71 с

1,36

100 м (баттерфляй)

52,84 с

1,89

57,93 с

1,73

200 м (баттерфляй)

1 мин 56,24 с

1,72

2 мин 5,96 с

1,59

 

В общем случае средние скорости на различных участках пути могут отличаться. На рис. 3.9 представлены координаты падающего тела, моменты времени, в которые тело проходит через эти точки, а также средние скорости для выделенных интервалов.

Рис. 3.9. Зависимость средней скорости от участка пути

 

Из данных, приведенных на рис. 3.9 видно, что средняя скорость на всем пути (от 0 м до 5 м) равна

 

Средняя скорость на интервале от 2 м до 3 м равна

 

Движение, при котором средняя скорость изменяется, называется неравномерным.

Мы вычисляли среднюю скорость в окрестности одной и той же точки х = 2,5 м. На рис. 3.9 видно, что по мере уменьшения интервала, по которому проводятся вычисления, средняя скорость стремится к некоторому пределу (в нашем случае это 7 м/с). Этот предел называется мгновенной скоростью или скоростью в данной точке траектории.

Мгновенной скоростью движения, или скоростью в данной точке траектории называется предел, к которому стремится отношение перемещения тела в окрестности этой точки ко времени при неограниченном уменьшении интервала:

Размерность скорости в СИ — м/с.

Часто скорость указывают в других единицах (например, в км/ч). При необходимости такие значения можно перевести в СИ. Например, 54 км/ч = 54000 м/3600 с =15 м/с.

Для одномерного случая мгновенная скорость равна производной от координаты тела по времени:

При равномерном движении величины средней и мгновенной скорости совпадают и остаются неизменными.

Мгновенная скорость — величина векторная. Направление вектора мгновенной скорости показано на рис. 3.10.

Рис. 3.10. Направление вектора мгновенной скорости

 

Во время забега мгновенная скорость бегуна меняется. Особенно существенны такие изменения в спринте. На рис. 3.11 приводится пример такого изменения для дистанции 200 м.

Бегун начинает движение из состояния покоя и разгоняется, пока не достигнет максимальной скорости. Для бегуна-мужчины время ускорения приблизительно 2 с, а максимальная скорость приближается к 10,5 м/с. Средняя скорость на всей дистанции меньше этого значения.

 

 

Рис. 3.11. Зависимость мгновенной скорости от времени бега для дистанции 200 м, мужчины

 

Причина того, что бегун не может долго поддерживать свою максимальную скорость движения, состоит в том, что он начинает испытывать недостаток кислорода. Тело содержит кислород, запасенный в мышцах, а в дальнейшем получает его при дыхании. Поэтому спринтер может поддерживать свою максимальную скорость только до тех пор, пока не израсходует запас кислорода. Это кислородное истощение наступает на дистанции около 300 м. Следовательно, для больших дистанций бегун должен ограничивать себя скоростью меньше максимальной. Чем длиннее дистанция, тем меньше должна быть скорость, чтобы кислорода хватило на весь забег. Только спринтеры бегут на максимальной скорости всю дистанцию.

На соревнованиях бегун обычно стремиться либо победить соперника, либо установить рекорд. От этого зависит стратегия забега. При установлении рекорда оптимальной стратегией будет та, при которой выбирается скорость, соответствующая полному истощению запаса кислорода к моменту пересечения финиша.

В спорте используются специальные временные характеристики.

Момент времени (t) — это временная мера положения точки, тела или системы. Момент времени определяют промежутком времени до него от начала отсчета.

Моментами времени обозначают, например, начало и окончание движения или какой-либо его части (фазы). По моментам времени определяют длительность движения.

Длительность движения (Δt) — это его временная мера, которая измеряется разностью моментов времени окончания и начала движения:

Δt = tкон — tнач .

Длительность движения представляет собой количество времени, прошедшее между двумя ограничивающими его моментами времени. Сами моменты длительности не имеют. Зная путь точки и длительность ее движения, можно определять ее среднюю скорость.

Темп движения (N) — это временная мера повторности движений. Он измеряется количеством движений, повторяющихся в единицу времени (частота движений):

В повторных движениях одинаковой длительности темп характеризует их протекание во времени. Темп — величина, обратная длительности движений. Чем больше длительность каждого движения, тем меньше темп, и наоборот.

Ритм движений — это временная мера соотношения частей движений. Он определяется по соотношению промежутков времени — длительностей частей движений:  Δt2-1 : Δt2-3: Δt4-3...

Различный ритм движений для лыжников при скользящем шаге (для пяти фаз шага) показан на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Различный ритм в скользящем шаге на лыжах: а) у высококвалифицированных лыжников;

б) у сильнейших лыжников мира;

фазы /—/// — скольжение, фазы скольжения,

фазы IV— V— стояние лыжи

Быстрота — это темп, в котором преодолевается расстояние без учета направления.

Быстрота — скалярная величина. Пусть между двумя пунктами при движении по одному шоссе одновременно движутся автомобилист, мотоциклист, велосипедист, бегун. У всех четверых одинаковы траектории, пути, перемещения. Однако их движение отличается быстротой (стремительностью), для характеристики которой и вводится понятие «скорость».

3.3. Равномерное прямолинейное движение и его графическое представление

 

Рассмотрим простейший вид движения — равномерное прямолинейное.

Равномерным называют движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути. В этом случае величина скорости остается неизменной (по направлению скорость может изменяться, если движение криволинейное).

Прямолинейным называется движение, при котором траектория является прямой линией. В этом случае направление скорости остается неизменным (величина скорости может изменяться, если движение не равномерное).

Равномерным прямолинейным называется движение, которое является и равномерным, и прямолинейным. В этом случае остаются неизменными и величина, и направление скорости.

Для описания прямолинейного движения ось X обычно направляют по линии движения, а положение тела указывают с помощью его координаты. В этом случае величина перемещения равна разности координат. Запишем определение скорости при равномерном прямолинейном движении:

• x0 — координата при t = 0;

• х — координата в текущий момент времени t',

• t — время движения.

 

 

v = const. График — прямая,             х = x0 + v·t — линейная функция.

параллельная оси f,                           График — наклонная прямая,

проходящая тем выше,                     проходящая тем круче,

 чем больше скорость                       чем больше скорость

Рис. 3.13. Графики зависимости скорости и координаты от времени для равномерного движения

Отсюда получим зависимость координаты от времени движения:

x = x0+v·t. (3.4)

Графики зависимостей v(t) и x(t) показаны на рис. 3.13.

3.4. Ускорение. Равноускоренное прямолинейное движение, графики

В общем случае при движении тела изменяются и величина, и направление вектора скорости. Для того, чтобы охарактеризовать насколько быстро происходят эти изменения, используют специальную величину —ускорение.

Мгновенным ускорением тела или его ускорением в данной точке траектории называется векторная величина, равная пределу, к которому стремится отношение изменения вектора скорости ко времени этого изменения, при неограниченном уменьшении интервала времени.

Размерность ускорения в СИ — м/с2.

При прямолинейном движении вектор скорости во всех точках направлен вдоль прямой, по которой движется тело. Вдоль этой же прямой направлен и вектор ускорения.

Прямолинейное движение называется равнопеременным, если за любые равные промежутки времени скорость тела изменяется на одну и ту же величину.                                   

В этом случае отношение  одинаково для любых интервалов времени. Поэтому величина и направление ускорения остаются неизменными: а = const.

Для прямолинейного движения вектор ускорения направлен по линии движения. Если направление ускорения совпадает с направлением вектора скорости, то величина скорости будет возрастать. В этом случае движение называют равноускоренным. Если направление ускорения противоположно направлению вектора скорости, то величина скорости будет уменьшаться. В этом случае движение называют равнозамедленным.

Запишем уравнения, описывающие изменение скорости и координаты тела при равнопеременном движении. Будем отсчитывать время от момента начала наблюдений за движением тела. В этом случае t0 = 0. Если конечный момент времени обозначить t, то Δt =  t — 0  = t  и по определению ускорения можно записать:

где v0 — скорость движения при t = 0; v — скорость в текущий момент времени t.

Отсюда получим зависимость скорости от времени движения:

v = v0+a·t. (3.5)

Можно показать, что при равнопеременном движении координата тела изменяется по квадратичному закону:

 

Часто при описании перехода тела из одной точки в другую (расстояние между ними s) удобно пользоваться уравнением, связывающим начальную и конечную скорость перехода:

v2-v20=2as. (3.7)

За исключением времени, все величины, входящие в уравнения (3.5—3.7), являются алгебраическими. Это означает, что численные значения скоростей (v , v), ускорения (а) и перемещения (s)

a = const. График — прямая,  V = V0 + a-t —             х = x0 + v0·t+ a·t2/2 —

параллельная оси f,                 линейная                    квадратичная функция

проходящая тем функция.    График —                    График — участок

выше, чем больше                 наклонная прямая,       параболы (t>0)

ускорение                               проходящая тем

                                                 круче,

                                                чем больше ускорение.

 

Рис. 3.14. Графики зависимости кинематических величин от времени для равноускоренного движения

 

подставляются в уравнения со знаком «+», если соответствующий вектор направлен в сторону оси X, и со знаком «—» в противном случае. Обычно, при описании прямолинейного движения координатную ось X направляют в сторону движения. При таком выборе оси ускорение положительно для равноускоренного движения и отрицательно для равнозамедленного движения. На рис. 3.14 представлены графики зависимостей ускорения, скорости и координаты тела от времени равноускоренного движения.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 |