Имя материала: Метрология

Автор: Сергеев Алексей Георгиевич

9.3. суммирование случайных погрешностей

 

Правила суммирования случайных погрешностей основаны на известных из теории вероятностей положениях [48,49]:

а) оценка математического ожидания результирующей погрешности определяется алгебраической суммой оценок математических ожиданий составляющих;

б) оценка СКО суммарной погрешности определяется выражением

                                   (9.7)

где Si — оценка СКО i-й составляющей погрешности; m — число суммируемых составляющих погрешностей; ρij — коэффициент корреляции между i- и j-й составляющими.

При суммировании m случайных погрешностей их коэффициенты корреляции образуют матрицу, которая ввиду равенства ρij = ρij является диагональной. Так как матрица коэффициентов корреляции симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся значения ρij = 1, то формулу (9.7) можно переписать в виде

где суммирование во втором слагаемом распространяется на все те составляющие, коэффициенты корреляции которых находятся в матрице правее и выше главной диагонали. Их число равно  m(m—1)/2.

Использование последнего уравнения и выражения (9.7) затруднительно, так как точное значение коэффициента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают ρ = 0, если случайные составляющие можно считать независимыми (при |ρ| < 0,7), или ρ = ±1, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей (при |ρ | > 0,7).

При необходимости точного учета коэффициента корреляции между погрешностями аргументов Xi и Xj его оценка может быть найдена по формуле

                (9.8)

где Xki, Xkj — элементы выборки аргументов Хi и Хj; S(X̃i), S(X̃j) — оценки СКО средних арифметических результатов измерений аргументов Xi и Хj. Оценку коэффициента корреляции можно определить и по формуле

       (9.9)

Полезной может оказаться формула

                      (9.10)

основным достоинством которой является отсутствие необходимости предварительного вычисления СКО составляющих Xkj и Xki. Следует отметить, что формулы (9.8)—(9.10) равнозначны.

В случае суммирования нормально распределенных случайных погрешностей результирующая погрешность измерения состоит из m случайных составляющих. Зная доверительную вероятность Р и доверительный интервал Д: для каждой составляющей погрешности, можно найти оценку СКО любой из них по формуле

                                                                 (9.11)

где zpj — квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности Рj. Если значение Р для всех составляющих одинаково, то, используя выражения (9.7) и (9.11), получаем:

а) для коррелированных составляющих (ρij = ±1)

                    (9.12)

где знак "±" означает, что для составляющих с положительной корреляцией величины Si и Di нужно брать со знаком "+", а для составляющих с отрицательной корреляцией — со знаком "-"; б) для независимых составляющих (ρij = 0)

                                           (9.13)

При суммировании составляющих с нормальным законом распределения результирующая погрешность также будет распределена нормально. Поэтому доверительный интервал суммарной погрешности с доверительной вероятностью Р может быть найден как

                                                                         (9.14)

С учетом (9.12) и (9.13) выражение (9.14) принимает вид, соответственно для коррелированных и некоррелированных составляющих:

                                         (9.15)

Суммирование погрешностей по первой формуле называется арифметическим, а по второй — геометрическим. Действительные значения коэффициентов корреляции по абсолютному значению могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности, а геометрическое — заниженное, т.е. действительное значение находится в интервале между ними.

Закон распределения результирующей погрешности зависит от конкретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Исходя из этого для определения доверительного интервала суммарной погрешности необходимо в каждом конкретном случае по известным законам суммируемых составляющих установить методами теории вероятностей результирующий закон распределения. Зная его и соответственно квантильный множитель zp, можно найти доверительный интервал суммарной погрешности по формуле (9.14).

Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления результирующего закона распределения (они рассмотривались в разд. 9.1).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |