Имя материала: Хрестоматия по истории философии

Автор: Микешин Людмила Александровна

Начала математики: философские аспекты

 

На протяжении всего периода от 1900 до 1910 г. Уайтхед и я отдавали большую часть нашего времени тому, что в конце концов стало «Началами математики» (1.118).

Наши проблемы были двух родов: философские и математические. Вообще говоря, Уайтхед оставил философские проблемы мне.

...Главная цель «Начал математики» состояла в доказательстве того, что вся чистая математика следует из чисто логических предпосылок и пользуется только теми понятиями, которые определимы в логических терминах. Это было, разумеется, антитезой учениям Канта... Но со временем работа продвинулась еще в двух направлениях. С математической точки зрения, были затронуты совершенно новые вопросы, которые потребовали новых алгоритмов и сделали возможным символическое представление того, что ранее расплывчато и неаккуратно выражалось в обыденном языке. С философской точки зрения, наметились две противоположные тенденции: одна — приятная, другая — неприятная. Приятное состояло в том, что необходимый логический аппарат вышел не столь громоздким, как я вначале предполагал. Точнее, оказались ненужными классы. В «Принципах математики» много обсуждается различие между классом как единым (one) и классом как многим (many). Вся эта дискуссия, вместе с огромным количеством сложных доказательств, оказалась ненужной. В результате работа, в ее окончательном виде, была лишена той философской глубины, первым признаком которой служит темнота изложения.

Неприятное же было без сомнения очень неприятным: из посылок, которые принимались всеми логиками после Аристотеля, выводились противоречия. Это свидетельствовало о неблагополучии в чем-то, но не давало никаких намеков, каким образом можно было бы исправить положение. Открытие одного такого противоречия весной 1901 г. положило конец моему логическому медовому месяцу. Я сообщил о неприятности Уайтхеду, который «утешил» меня словами: «Никогда больше нам не насладиться блаженством утренней безмятежности».

Я увидел противоречие, когда изучил доказательство Кантора о том, что не существует самого большого кардинального числа. Полагая, в своей невинности, что число всех вещей в мире должно составлять самое большое возможное число, я применил его доказательство к этому числу— мне хотелось увидеть, что получится. Это привело меня к обнаружению очень любопытного класса. Размышляя по линиям, которые до тех пор казались адекватными, я полагал, что класс в некоторых случаях является, а в других — не является, членом самого себя. Класс чайных ложек, например, не является сам чайной ложкой, но класс вещей, которые не являются чайными ложками, сам является одной из вещей, которые не являются чайными ложками. Казалось, что есть случаи и не негативные: например, класс всех классов является классом. Применение доказательства Кантора привело меня к рассмотрению классов, не являющихся членами самих себя; эти классы, видимо, должны образовывать некоторый класс. Я задался вопросом, является ли этот класс членом самого себя или нет. Если он член самого себя, то должен обладать определяющим свойством класса, т.е. не являться членом самого себя. Если он не является членом самого себя, то не должен обладать определяющим свойством класса, и потому должен быть членом самого себя. Таким образом, каждая из альтернатив ведет к своей противоположности. В этом и состоит противоречие.

Поначалу я думал, что в моем рассуждении должна быть какая-то тривиальная ошибка. Я рассматривал каждый шаг под логическим микроскопом, но не мог обнаружить ничего неправильного. Я написал об этом Фреге, который ответил, что арифметика зашаталась и что он увидел ложность своего Закона V. Это противоречие настолько обескуражило Фреге, что он отказался от главного дела своей жизни — от попытки вывести арифметику из логики. Подобно пифагорейцам, столкнувшимся с несоизмеримыми величинами, он нашел убежище в геометрии, явно посчитав, что вся его предшествующая деятельность была заблуждением. Что касается меня, то я чувствовал, что причина в логике, а не в математике, и что именно логику и следовало бы преобразовать. Я укрепился в этом мнении, когда открыл рецепт составления бесконечного числа противоречий.

Философы и математики реагировали на ситуацию по-разному. Пуанкаре, не любивший математическую логику и обвинявший ее в бесплодности, обрадовался: «она больше не бесплодна, она рожает противоречия». Это блестящее замечание, впрочем, никак не способствовало решению проблемы. Некоторые другие математики, относившиеся неодобрительно к Георгу Кантору, заняли позицию Мартовского Зайца: «От этого я устал. Поговорим о чем-нибудь другом», — что точно так же казалось мне неадекватным.

...Парадоксы обнаруживали и раньше, некоторые были известны в древности; как мне казалось, тогда ставили похожие проблемы, хотя авторы, писавшие после меня, считали, что проблемы греков были иного рода. Наиболее известен парадокс об Эпимениде-критянине, который сказал, что все критяне лжецы, и заставил людей сомневаться, не лгал ли он, когда говорил это. Этот парадокс в самой простой форме возникает, когда человек говорит: «Я лгу». Если он лжет, то это ложь, что он лжет, и, следовательно, говорит правду; но если он говорит правду, то лжет, ибо именно это он утверждает. Противоречие поэтому неизбежно. Это противоречие упоминается св. Павлом (Тит 1,12), который, однако, не занимался его логическими аспектами, а доказывал с его помощью порочность язычников (1.119-122).

Объясню общие принципы теории типов, не вдаваясь в трудные технические детали. Возможно, лучше всего будет начать с того, что имеется в виду под «классом». Возьмем пример из домашнего хозяйства. Допустим, в конце обеда хозяин предлагает на выбор три сладких блюда, настаивая, чтобы вы попробовали одно, два или все три, как вы пожелаете. Сколько линий поведения открыто перед вами? Вы можете от всего отказаться. Это первый выбор. Вы можете выбрать что-то одно. Это можно сделать тремя различными способами, и, следовательно, перед вами еще три варианта. Вы можете выбрать два блюда. Это также возможно сделать тремя способами. Или вы можете выбрать все три, что дает одну последнюю возможность. Общее число возможностей, таким образом, равно восьми, то есть 23. Можно легко обобщить эту процедуру. Положим, перед вами n объектов, и вы желаете знать, сколько путей имеется, чтобы ничего не выбрать, или что-то выбрать, или же выбрать все п. Вы обнаружите, что число путей 2n. Если выразить это в логическом языке: класс из n-го количества элементов имеет 2n подклассов. Это суждение истинно и в том случае, когда n бесконечно. Кантор как раз и доказал, что даже в этом случае 2n больше, чем n. Применяя это, как сделал я, ко всем вещам во вселенной, мы приходим к заключению, что классов вещей больше, чем вещей. Отсюда следует, что классы не являются «вещами». Но, поскольку никто не знает точно, что означает слово «вещь» в этом утверждении, не очень-то легко точно сформулировать, что именно удалось доказать. Заключение, к которому я пришел, состояло в том, что классы — это просто подсобное средство (convenience) в рассуждении (1.124).

Теория дескрипций, упомянутая выше, впервые была изложена в моей статье «О денотации» в журнале «Майнд» (1905). Она так поразила тогдашнего редактора журнала, посчитавшего ее нелепой, что он упрашивал меня пересмотреть ее и не настаивать на публикации. Но я был убежден в том, что она является здравой, и отказывался уступить. Впоследствии статья получила широкое признание и стала считаться моим важнейшим вкладом в логику. Правда, сегодня ее отвергают те, кто отказывался от различения имен и других слов. Полагаю, такая реакция происходит из-за того, что эти люди никогда не занимались математической логикой. Во всяком случае, я не вижу в такой критике смысла. Признаюсь, однако, что учение об именах, наверное, немного сложнее, чем я когда-то полагал. Впрочем, сейчас не буду рассматривать этих трудностей и возьму язык в его обыденном употреблении.

Я взял для доказательства противоположность имени «Скотт» и дескрипции «автор Вэверлея». Утверждение «Скотт — автор Вэверлея» выражает тождество, а не тавтологию. Георг IV желал знать, является ли Скотт автором Вэверлея, но не желал знать, является ли Скотт Скоттом. Для всех, кто не изучал логику, это совершенно ясно. Но для логика в этом заключена головоломная трудность. Логики полагают (или полагали раньше), что если два выражения обозначают один и тот же объект, то суждение, содержащее одно выражение, может всегда быть заменено суждением, содержащим другое, и при этом остаться истинным, если оно было истинным, или ложным, если оно было ложным. Но, как мы только что видели, можно превратить истинное суждение в ложное, если заменить «автора Вэверлея на «Скотта». Отсюда видно, что необходимо различие между именем и дескрипцией: «Скотт» — это имя, а «автор Вэверлея» — дескрипция.

Другое важное различие между именами и дескрипциями заключается в том, что имя не может осмысленно входить в суждение, если нет чего-то, что оно именует, в то время как дескрипция не подчиняется этому ограничению. Мейнонг, к работам которого я относился всегда с великим почтением, не сумел заметить этого различия. Он указал, что можно делать утверждения с логическим субъектом «золотая гора», хотя никакой золотой горы не существует. Он доказал, что, когда вы говорите, будто золотой горы не существует, то очевидно, что есть нечто, о чем вы говорите, что этого не существует — а именно, золотая гора; следовательно, золотая гора должна пребывать в некоем туманном Платоновом мире бытия, ибо в противном случае ваше утверждение, что золотая гора не существует, не будет иметь значения. Признаюсь, что пока я не пришел к теории Дескрипций, этот аргумент казался мне убедительным. Существенно важным моментом в теории было то, что, хотя «золотая гора» может быть в грамматическом смысле субъектом значимого суждения, такое суждение, если его правильно проанализировать, больше не будет иметь субъекта. Суждение «золотая гора не существует» становится суждением «пропозициональная функция "X золотая и гора" ложна для всех значений X». Утверждение «Скотт — автор Вэверлея» становится утверждением для всех значений X, «X написал Вэверлея» эквивалентно «X — это Скотт». Здесь фраза «автор Вэверлея» уже не встречается.

Теория дескрипций пролила также свет на то, что имеется в виду под «существованием». «Автор Вэверлея существует» означает «имеется значение С, для которого пропозициональная функция "X написал Вэверлея" всегда тождественна «"X есть С" истинно». Существование в этом смысле может утверждаться только об описании, и, будучи проанализированным, оно оказывается случаем пропозициональной функции, истинной по крайней мере в одном значении переменной. Мы можем сказать: «автор Вэверлея существует», и мы можем сказать: «Скотт — автор Вэверлея»; но «Скотт существует» — скверно с точки зрения грамматики. В лучшем случае это можно проинтерпретировать как означающее «человек, именуемый "Скоттом", существует», но «человек, именуемый "Скоттом"» — это дескрипция, а не имя. Когда имя используют правильно, то есть как собственно имя, грамматически неправильно было бы говорить «нечто существует» («that exists»).

Центральная идея теории дескрипций состояла в том, что выражение может содействовать (contribute) значимости предложения, не имея само по себе (in isolation) никакого значения. Этому, в случае дескрипций, имеется точное доказательство: если «автор Вэверлея» означало что-нибудь другое, чем «Скотт», то «Скотт — автор Вэверлея» было бы ложно, а это не так. Если бы «автор Вэверлея» означало «Скотт», то «Скотт — автор Вэверлея» было бы тавтологией, а это не так. Следовательно, «автор Вэверлея» не означает ни «Скотт», ни что-либо другое — то есть, «автор Вэверлея» ничего не означает. Что и следовало доказать (1.127-129).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 |