Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

1.5. выборочная дисперсия

 

До сих пор термин «дисперсия» использовался в смысле теоретической дисперсии (т. е. относящейся ко всей генеральной совокупности), как это и определялось в обзоре. Для целей, которые прояснятся при обсуждении регрессионного анализа, целесообразно ввести понятие выборочной дисперсии (при этом будет сделано три важных замечания). Для выборки из п наблюдений хр хп выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке:

Var(x) = iX(*/-^)2- (1.14) Сделаем следующие три замечания:

Определенная таким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии. В приложении О.З показано, что s2, определенная как

1    V   — 2

            2,(х,-х) ,

/1-І

1 В русскоязычной литературе величина Var (х) обычно называется выборочной дисперсией, а s2 — «исправленной», или несмещенной, выборочной дисперсией. (Прим. ред.)

является несмещенной оценкой с2. Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(л — 1)/п]с2 и что, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки п становится большим, то (п — 1)/п стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var (х) стремится к с2. Можно легко показать, что ее предел по вероятности (plim) равен а2 и, следовательно, она является примером состоятельной оценки, которая смещена для небольших выборок.

Так как величина s2 является несмещенной, то в некоторых работах ее часто определяют как выборочную дисперсию и либо избегают ссылок на Var (х), либо дают ей какое-то другое название. К сожалению, общепринятой договоренности по этому поводу до сих пор нет1. В каждой работе вам следует проверять определение.

3. Поскольку указанная договоренность отсутствует, отсутствует и договоренность относительно условного обозначения данного понятия, и для этого используются самые различные символы. В данной работе теоретическая (или генеральная) дисперсия переменной х обозначается как pop. var (х) или, если это удобно, а2. Если ясно, о какой переменной идет речь, то нижний индекс может быть опущен. Выборочная дисперсия всегда будет обозначаться как Var (х) с прописной буквы К

Почему выборочная дисперсия в среднем занижает значение теоретической дисперсии? Причина заключается в том, что она вычисляется как среднеквадратичное отклонение от выборочного среднего, а не от истинного значения. Так как выборочное среднее автоматически находится в центре выборки, то отклонения от него в среднем меньше отклонений от теоретического среднего значения.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |