Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

3.4. несмещенность коэффициентов регрессии

 

На основании уравнения (3.6) можно показать, что b будет несмещенной оценкой р, если выполняется 4-е условие Гаусса—Маркова:

 

так как р — константа. Если мы примем сильную форму 4-го условия Гаусса-Маркова и предположим, чтох— неслучайная величина, мы можем также считать Var (х) известной константой и, таким образом,

Е{Ь] = р +v^)£{CovMl <ЗЛ8> Далее, если х — неслучайная величина, то Е{Со (х, и)} = 0 и, следовательно,

£{*} = р. (3.19)

Таким образом, b — несмещенная оценка р. Можно получить тот же результат со слабой формой 4-го условия Гаусса—Маркова (которая допускает, что переменная х имеет случайную ошибку, но предполагает, что она распределена независимо от и); это показано в главе 8.

За исключением того случая, когда случайные факторы в п наблюдениях в точности «гасят» друг друга, что может произойти лишь при случайном совпадении, Ъ будет отличаться от р в каждом конкретном эксперименте. Однако с учетом соотношения (3.19) не будет систематической ошибки, завышающей или занижающей оценку. То же самое справедливо и для коэффициента а. Используем уравнение (2.35):

а = у-Ьх. (3.20)

Следовательно,

Е{а} = Е{у}-хЕ{Ь]. (3.21)

Поскольку у определяется уравнением (3.1),

Е{Уі) = а + рх, +       = а + рх,-, (3.22)

так как Е{и^ = О, если выполнено 1-е условие Гаусса—Маркова. Следовательно,

Е{у} = а + $х. (3.23)

Подставив это выражение в (3.21) и воспользовавшись тем, что Е{Ь) = р, получим:

£{л} = (а + Рх)-Рх = а. (3.24)

Таким образом, а — это несмещенная оценка а при условии выполнения 1-го и 4-го условий Гаусса—Маркова. Безусловно, для любой конкретной выборки фактор случайности приведет к расхождению оценки и истинного значения.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |