Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

4.3. случайный член

 

До сих пор ничего не было сказано о том, как осуществленные преобразования влияют на случайный член. В приведенных выше рассуждениях все это вышло за рамки рассмотрения.

Основное требование здесь состоит в том, чтобы случайный член в преобразованном уравнении присутствовал в виде слагаемого (+и) и удовлетворял условиям Гаусса—Маркова. В противном случае коэффициенты регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, не будут обладать обычными свойствами и проводимые для них тесты окажутся недостоверными.

Например, желательно, если мы учитываем случайное воздействие, чтобы уравнение (4.7) имело следующий вид:

y = a + $z + u. (4.22)

Если это так, то исходное (т. е. непреобразованное) уравнение (4.3) будет иметь вид:

у = а +   + и. (4.23)

 

В данном конкретном случае, если в исходном уравнении случайный член является аддитивным и условия Гаусса—Маркова выполнены, то это также будет верно для преобразованного уравнения. В этом случае проблем нет.

Что произойдет, если мы используем модель вида (4.4)? Регрессионная модель после приведения к линейному виду путем логарифмирования будет представлять собой уравнение (4.13), и оно должно будет также включать случайный член возмущения, который является аддитивным и удовлетворяет условиям Гаусса—Маркова:

>''=ос'+рг + и. (4.24)

Если вернуться к исходному уравнению, это означает, что формулу (4.4) следует переписать в следующем виде:

у = oofiv, (4.25)

где v и и связаны соотношением log v = и. Следует помнить, что мы приводим уравнение (4.25) к линейному виду путем логарифмирования его обеих частей. В этом случае мы получаем соотношение:

ogy= log a + piogx + logv, (4.26)

которое представляет собой уравнение (4.24) с соответствующими изменениями определений.

Следовательно, для получения аддитивного случайного члена в уравнении регрессии мы должны начать с мультипликативного случайного члена в исходном уравнении.

Случайный член v изменяет выражение осхР путем увеличения или уменьшения его в случайной пропорции, а не на случайную величину. Заметим, что и = 0, если log v = 0, что происходит при v = 1. Случайная составляющая в оцениваемом уравнении (4.24) будет равна нулю, если v= 1. Это имеет смысл, так как если v = 1, то оно никак не изменяет значение cofi.

Для того чтобы были применимы t- и /^критерии, величина и должна иметь нормальное распределение. Это означает, что log v должен иметь нормальное распределение, что возможно только при логарифмически нормальном распределении v. Что произошло бы, если предположить, что случайный член в исходном уравнении является аддитивным, а не мультипликативным?

у = oofi ■+■ и. (4.27)

Ответ таков, что, когда вы берете логарифм, невозможно математическим путем упростить выражение log (otxP+ w). Наше преобразование не ведет к линеаризации. В этом случае следует использовать метод оценивания нелинейной регрессии, например метод, рассмотренный в разделе 4.5.

 

Упражнения

Логарифмические регрессии между (1) расходами на продукты питания или (2) на оплату жилья и личным располагаемым доходом имели следующий вид (в скобках приведены среднеквадратичные ошибки):

log у = 1,20 + 0,55 log х;  Я2 = 0,98; (1) (0,И) (0,02)

log у =-3,48 + 1,23 log х;   R2 = 0,99. (2) (0,16) (0,02)

Выполните соответствующие статистические тесты и определите 95-процентный доверительный интервал для эластичности по доходу в каждом случае.

Выполните соответствующие статистические тесты для логарифмической кривой Энгеля, построенной вами в упражнении 4.2. Определите 95-процентный доверительный интервал для эластичности по доходу.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |