Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

8.2. последствия ошибок измерения

В экономике при исследовании какой-либо зависимости используемые переменные часто оказываются неправильно измеренными. Например, в обследованиях часто имеются ошибки, сделанные по вине опрашиваемого, неправильно понимающего вопрос (а в некоторых случаях и по вине опрашивающего). Вместе с тем сообщение неправильных сведений является не единственным источником неточностей. Иногда случается, что вы каким-то образом определили переменную в модели, но имеющиеся данные свидетельствуют о несколько другом определении. Широко известным примером такого случая является рассматриваемый в разделе 8.3 критический анализ М. Фридменом стандартной функции потребления.

Первоначально мы рассмотрим классический случай, в котором дисперсия объясняющей переменной стремится в больших выборках к конечной теоретической дисперсии. В конце этого раздела мы проанализируем последствия принятия альтернативного допущения о том, что дисперсия неограниченно увеличивается.

Ошибки измерения объясняющих переменных

Допустим, переменная у зависит от переменной z, что задано следующим соотношением:

y = a + pZ + v, (8.7)

где v — случайный член с нулевым средним и дисперсией av2.

Предположим, что z невозможно измерить абсолютно точно, и мы будем использоватьх для обозначения его измеренного значения. В/-м наблюдении*,, равно истинному значению г, плюс ошибка измерения н>,:

=   + (8.8)

Допустим, что w имеет нулевое среднее и дисперсию aw2, что Var (z) в больших выборках стремится к конечному пределу ог2 и что z и v распределены независимо.

Подставляя формулу (8.8) в уравнение (8.7), получим:

>> = a + p;c + v-pw. (8.9)

Это уравнение имеет две случайные составляющие — первоначальный случайный член v и ошибку измерения w (умноженную на —Р). Вместе они образуют составную случайную переменную, которую мы назовем и:

и — v ~ pw. (8.10)

Соотношение (8.9) можно теперь записать как

у = а + $х + и. (8.11)

Имея значения переменных у (временно будем предполагать, что они измерены точно) и х, мы, несомненно, можем оценить регрессионную зависимость у ОТ X.

Коэффициент регрессии Ь, как обычно, представляется выражением (8.2). Анализируя ошибку, можно заметить, что она, вероятно, поведет себя не так, как требуется. Переменная х зависит от w (8.8), от этой величины зависит также и и (8.10). Когда ошибка измерения в наблюдении оказывается положительной, происходят две вещи: х;. имеет положительную составляющую и>., а ui имеет отрицательную составляющую — pw7. Аналогично, если ошибка измерения отрицательна, она вносит отрицательный вклад в величину х( и положительный вклад в величину иг Следовательно, корреляция между х и и отрицательна. Величина pop. cov (х, и) не равна нулю, а из соотношения (8.2) следует, что Ъ является несостоятельной оценкой р.

Даже если бы у нас была очень большая выборка, оценка оказалась бы неточной. Она бы занижала р на величину

a; +а:

Р.

(8.12)

Доказательство этого дается ниже. Сначала мы отметим его очевидные следствия. Чем больше теоретическая дисперсия ошибки измерения по отношению к теоретической дисперсии z, тем больше будет отрицательное смещение. Например, если бы о2 было равно 0,25а2, то отрицательное смещение составило бы:

 

l,25o2z

что равняется 0,2р. Даже если бы выборка была очень большой, оценка оказалась бы на 20\% ниже истинного значения при положительном р и на 20\% выше его при отрицательном р.

Рисунок 8.1 показывает, как ошибка измерения приводит к появлению смещенных коэффициентов регрессии, если использовать модель, представленную выражениями (8.7) и (8.8). На рис. 8.1 А мы предполагаем, что ошибка измерения отсутствует и что отклонения от линии регрессии вызываются только случайным членом v. На рис. 8.1 Б предполагается, что переменная х подвержена воздействию существенной ошибки измерения, которая сдвигает наблюдения вправо при их положительном значении и влево — при отрицательном. По причине горизонтального рассеяния множество точек наблюдений здесь кажется более пологим, чем на рис. 8.1 А, и оцененная линия регрессии будет иметь тенденцию к занижению угла наклона истинной линии зависимости. Чем больше дисперсия ошибки измерения по отношению к дисперсии х, тем больше окажется эффект уменьшения угла наклона и тем сильнее будет смещение.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |