Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

8.3. критика м. фридменом стандартной функции потребления

Теперь мы приступим к рассмотрению наиболее известного применения анализа ошибок измерения в экономической теории — к изложению критических взглядов М. Фридмена на использование МНК для оценивания функции потребления (Friedman, 1957). Здесь рассматривается предпринятый М. Фридменом анализ данной проблемы, а в главе 10 представлено предложенное им решение.

В модели Фридмена потребление /-го индивида в период t связывается не с фактическим текущим доходом, а с постоянным доходом, который будет обозначаться как Y?r Постоянный доход следует рассматривать как долговременное понятие дохода — сумму, на которую человек может в большей или меньшей степени рассчитывать, принимая во внимание ее возможные колебания. Постоянный доход субъективно определяется на основе полученного в последнее время опыта и ожиданий на будущее, и поскольку это понятие субъективное, он не может быть измерен непосредственно. Фактический доход в том или ином году может быть выше или ниже постоянного дохода в зависимости от конкретных условий в данном году. Разность между фактическим и постоянным доходом рассматривается как переменный доход YJ:

Yit=Y£+ Yl (8.22)

Таким же образом М. Фридмен проводит различие между фактическим потреблением С/Ги постоянным потреблением С/. Постоянное потребление представляет собой уровень потребления, обусловленный уровнем постоянного дохода. Фактическое потребление может отличаться от него в случае возникновения особых непредусмотренных обстоятельств (например непредусмотренных расходов на медицинское обслуживание) или в случае непредвиденных покупок. Разность этих величин описывается как переменное потребление С/7Г:

q=C,.f+C/. (8.23)

Предполагается, что YJ, С/ — случайные переменные с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, не коррелированные с Y£ и С/ и друг с другом. Далее М. Фридмен выдвинул гипотезу о том, что постоянное потребление прямо пропорционально постоянному доходу:

С;=РГ/. (8.24)

Если модель Фридмена правильна, то возникает вопрос, что случится, если вы по незнанию попытаетесь оценить обычную функцию потребления, описанную регрессионной зависимостью измеренного потребления от измеренного дохода, и оцените регрессию в виде:

6 = a + bY. (8.25)

В регрессии как зависимая, так и объясняющая переменные были измерены неточно; и ошибки измерения равны С т и Y т. В соответствии с результатами анализа, проведенного в разделе 8.2,

Z=YP;   w=YT;   q=Cp;   r=CT. (8.26)

Как мы видели в этом разделе, ошибки измерения зависимой переменной ведут лишь к увеличению дисперсии случайного члена. Использование неправильной концепции дохода ведет к более серьезным последствиям. В результате этого оценка р становится несостоятельной. Из выражения (8.12) можно видеть, что в больших выборках Р будет недооцениваться примерно на величину:

о т ^[7^Р = PlimVar(rVa2r/' (8'27)

где а2уТ — теоретическая дисперсия YT, если существует plim Var (У0- Мы рассмотрим два случая: первый, в котором Yp берется из генеральной совокупности с конечной дисперсией <ф>; и второй, в котором Var (КО неограниченно возрастает.

 

Предел по вероятности plim Var (Yp) = GyP

2

 

К первому случаю, очевидно, относится задача построения регрессионной функции потребления по данным перекрестной выборки. Предельное значение коэффициента наклона в больших выборках представляется выражением:

о

plim* = p-      уТ     р. (8 28)

°уР + °уТ

Это означает, что даже в больших выборках выявленная предельная склонность к потреблению (полученная оценка Ь) будет ниже, чем истинное значение Р в зависимости (8.24). Величина смещения зависит от соотношения между дисперсиями переменного и постоянного доходов. Смещение будет наибольшим для тех профессий, где доход в наибольшей степени подвержен колебаниям. Очевидным примером может служить ведение фермерского хозяйства. Модель Фридмена предсказывает, что даже если для фермеров было бы такое же значение р, как и для остальной части населения, их предельная склонность к потреблению по отношению к измеренному доходу была бы относительно низкой, и это согласуется с фактами (Friedman, 1957, р. 57 и далее).

 

Иллюстрация

Анализ, проделанный М. Фридменом, будет проиллюстрирован с использованием метода Монте-Карло. Предположим, что 20 человек, включенные в выборку, имеют постоянный доход 2000, 2100, 2200, 3900. Допустим также, что переменный доход каждого из указанных индивидов равен случайному числу, извлеченному из нормальной генеральной совокупности с нулевым средним и единичной дисперсией, умноженному на 200 (как обычно, случайные числа берутся из таблицы нормальных случайных чисел). Измеренный доход для каждого из 20 человек представляет собой сумму постоянного и переменного доходов. Предположим, что истинное значение р равно 0,9; таким образом, постоянное потребление составляет 0,9 от соответствующего постоянного дохода. Переменная составляющая потребления здесь не рассматривается, и измеренное потребление равно постоянному потреблению. Результат оценивания регрессионной зависимости измеренного потребления от измеренного дохода имеет вид:

С = 443 + 0,75 Y;        R2 = 0,89. (8.29) (с.о.Х179) (0,06)

Как и предполагалось, оцененная предельная склонность к потреблению оказалась ниже истинного значения. В самом деле, если построить 95-процентный доверительный интервал, используя результаты оценки регрессии, то истинное значение оказалось бы за его границами и, следовательно, было бы отклонено при 5-процентном уровне значимости. При 18 степенях свободы критический уровень / составляет 2,10; таким образом, доверительный интервал вычислялся бы как

0,75 - 2,10 х 0,06 < Р < 0,75 + 2,10 х 0,06, (8.30)

или

0,62 <р< 0,88. (8.31)

Следовательно, вы допустили бы ошибку I рода. Фактически наличие ошибок измерения делает некорректной стандартную ошибку К, а значит, и доверительный интервал. Еще один побочный эффект заключается в том, что постоянный член, который должен быть равным нулю, так как он отсутствовал при расчете значений С, имеет значимо отличное от нуля (на 5-процентном уровне значимости) положительное значение. Данный эксперимент был повторен еще 9 раз, и результаты приводятся в табл. 8.1, серия А.

Оценка Ь показывает явно отрицательно смещенную предельную склонность к потреблению. В девяти из десяти экспериментов она ниже, чем истинное значение 0,90. Проверим, согласуются ли эти результаты с выводами теоретического анализа, на основе которого получено уравнение (8.28). В нашем примере <ЗуТ равно 40 ООО, так как YT имеет стандартное отклонение 200. Предположим, что в больших выборках Yp принимает значения 2000, 2100, 3000

с равной вероятностью и, следовательно, что величина <52уР — конечна и равна

дисперсии этого набора чисел, составляющей 332 500. Таким образом, в больших выборках оценка коэффициента р будет заниженной на величину:

,^1°°00,^г, х0>90 = ОД 1 х 0,90 = 0,10. (8.32)

332500 + 40000          ^ ;

Следует подчеркнуть, что такой вывод справедлив только для больших выборок и что ничего нельзя сказать о поведении оценки в выборках небольшого объема. Однако в данном случае можно видеть, что на самом деле это значение представляет собой хороший ориентир. Проанализировав оценки коэффициента р в 10 указанных экспериментах, мы видим, что они, по-видимому, случайно распределены вокруг 0,80 (а не 0,90) и что таким образом имеется отрицательное смещение приблизительно на 0,10.

Последствием занижения оценки Ь является завышение оценки д, которое оказывается положительным, несмотря на то что истинное значение а равно нулю. Действительно, в четырех случаях /-тест показывает, что эта величина значимо отличается от нуля при 5-процентном уровне значимости. Вместе с тем в этих условиях /-тесты являются некорректными, потому что невыполнение четвертого условия Гаусса—Маркова делает некорректным расчет стандартных ошибок, а значит, и /-статистик.

Что произойдет, если мы увеличим дисперсию YT, оставив все остальное без изменения? В данных серии і? из табл. 8.1 первоначальные случайные числа

умножались на 400 вместо 200, поэтому величина о2ут составила 160 000 вместо

40 000. Значение ошибки в выражении (8.28) теперь равно 160 000/(332 500 + + 160 000), что составляет 0,32, поэтому можно предполагать, что в выборках увеличивающегося объема Ь будет стремиться к (0,9 — 0,32 х 0,9), то есть к 0,61. Мы снова видим, что это хороший ориентир, позволяющий судить о подлинном поведении Ь, несмотря на то что в каждой выборке содержится всего лишь 20 наблюдений. Как и следовало предполагать, значения оценки а здесь даже больше, чем в серии А.

 

Неограниченный рост Var (Yp)

 

Если Var (У*) неограниченно увеличивается, а оуТ конечна, то в принципе

смещение исчезнет по мере роста числа наблюдений в выборке. Тем не менее в малых выборках оно может быть значительным, и могут потребоваться поправки — либо по методу, который использовался М. Фридменом, либо по методу, рассматриваемому в следующем разделе.

 

Выводы для экономической политики

Имеются два отдельных и противоположных вывода относительно мультипликатора. Во-первых, если М. Фридмен прав, то регрессионная зависимость фактического потребления от фактического дохода в результате даст заниженную величину предельной склонности к потреблению и, следовательно, заниженную оценку мультипликатора. В примере из предыдущего раздела истинное значение (3 было равно 0,90 и, таким образом, истинное значение мультипликатора равнялось 10. Однако в серии А оценка (3 стремилась к 0,80, что означало, что мультипликатор равен всего лишь 5. В серии Б его значение было еще ниже. Оценка (3 стремилась к 0,61, что дает значение мультипликатора 2,6.

Если правительство пользуется заниженной оценкой мультипликатора, то в результате будут недооцениваться последствия бюджетно-налоговой политики. Например, повышение государственных расходов в целях снижения безработицы может фактически привести к избыточному повышению действительного спроса и к усилению инфляции.

Второй вывод заключается в том, что мультипликатор относится только к той части изменения дохода, которая воспринимается как постоянная, так как (согласно М. Фридмену) потребление зависит только от постоянного дохода. Таким образом, если предполагается, что увеличение государственных расходов является временным, то оно (в первом приближении) вообще не будет оказывать влияния на потребление и связанный с ним мультипликатор будет равен единице.

Эти замечания должны быть связаны с рассмотрением формы, в которой люди хранят сбережения. Мы пока неявно предполагали, что они держат их в форме финансовых активов (банковские депозиты, облигации и т. д.). Вместе с тем в модели Фридмена в качестве одной из форм сбережения рассматриваются расходы на потребительские товары длительного пользования. Дополнительные средства, образовавшиеся в результате увеличения переменного дохода, не будут потрачены на обычные предметы потребления, но возможно частичное их сбережение в форме закупок потребительских товаров длительного пользования, и повышение спроса на них приведет к эффекту мультипликатора. Суммарный краткосрочный эффект мультипликатора может быть не таким малым.

Первое замечание говорит о том, что если М. Фридмен прав, то регрессионная зависимость С, от Yt является неудачной с эконометрической точки зрения. Второе замечание означает, что предположение о зависимости С( только от Yt неудачно с точки зрения экономической теории (подчеркнем, если М. Фридмен прав). Вместе эти замечания означают, что мультипликатор, вычисленный по оценкам регрессии между Си Y вероятно, будет неточным как для краткосрочного, так и для долгосрочного периода.

В данном случае рассматривалась только теория потребления — первоначальная область применения введенного М. Фридменом понятия постоянного дохода; но это понятие может применяться и применяется и в других областях. В частности, в денежной теории можно показать, что спрос на наличные деньги для сделок должен соотноситься не с фактическим, а с постоянным доходом; в теории инвестиций можно утверждать, что акселератор должен быть связан с изменениями не в фактическом, а в постоянном доходе. Первоначальный вклад в решение этих вопросов был сделан М. Фридменом (Friedman, 1959) и Р. Эй-снером (Eisner, 1967).

 

Упражнения

В некоторой экономике дисперсия переменного дохода составляет 0,5 от дисперсии постоянного дохода, склонность к потреблению товаров кратковременного пользования за счет постоянного дохода равна 0,6 и нет расходов на товары длительного пользования. Каким будет значение мультипликатора, полученного на основе построения простейшей регрессионной зависимости потребления от дохода, и каково его истинное значение?

В определение постоянного потребления М. Фридмен включает потребление услуг, обеспечиваемых товарами длительного пользования. Закупки товаров длительного пользования характеризуются как одна из форм сбережений. В экономике, подобной той, которая была рассмотрена в упражнении 8.3, дисперсия переменного дохода составляет 0,5 от дисперсии постоянного дохода, склонность к потреблению товаров кратковременного пользования за счет постоянного дохода равна 0,6 и половина текущих сбережений (фактический доход минус расходы на товары кратковременного пользования) принимает форму расходов на товары длительного пользования. Каким будет значение мультипликатора, полученного на основе простой регрессии между потреблением и доходом, и каково его истинное значение?

8.4. Инструментальные переменные

Что следует делать при наличии ошибок измерения? Если их причиной является неточность при подготовке данных, то единственное, что можно сделать, — это обрабатывать данные более тщательно. Если же их причина заключается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от истинной объясняющей переменной в зависимости, то можно попытаться получить более подходящие данные. Часто это бывает трудно осуществить на практике. Если требуется получить временной ряд по совокупному измеренному доходу, то его можно найти в национальных счетах, но не существует прямого способа получения данных по совокупному постоянному доходу. М. Фридмен решил эту проблему, предложив оригинальный косвенный метод, рассматриваемый в главе 10.

Здесь мы объясним использование метода инструментальных переменных (ИП) — наиболее важной разновидности метода наименьших квадратов — для решения данной задачи. Это также будет иметь большое значение, когда мы приступим к оцениванию параметров моделей, состоящих из нескольких уравнений.

В сущности, метод инструментальных переменных заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая не коррелирована со случайным членом. Ограничимся случаем парной регрессии:

у = а + $х+и (8.33)

и допустим, что по какой-либо причине х имеет случайную составляющую, зависящую от и. Будем также предполагать, что в больших выборках Var (х) стремится к конечному пределу а*. В этих условиях непосредственное применение МНК для построения регрессионной зависимости у от х привело бы к несостоятельным оценкам параметров.

Теперь предположим, что можно найти другую переменную z, которая коррелирована сх, но не коррелирована с и. Покажем, что основанная на использовании инструментальных переменных оценка параметра (3, определяемая как

Cov(*,>0

bm=—;—(8.34)

 

является состоятельной при условии, что при увеличивающемся числе наблюдений Cov (z, х) стремится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим как о^. Это означает, что в больших выборках Ьт стремится к истинному значению |3. Перед этим полезно сравнить ЬИП с оценкой МНК, которую обозначим как Ьмнк:

_ Cov(x,,y) _ Cov(x,>Q

*мнк -      , ч -     /     • (8.35)

Var(x)     Cov(x,x)      v '

так как Cov (х, х) и Var (х) — одно и то же. Оценка ИП в парном регрессионном анализе получается путем подстановки инструментальной переменной z вместо х в числителе и вместо одного х (но не обоих) в знаменателе.

Используя уравнение (8.33), мы можем записать выражение для Ьш следующим образом:

b    _ Соу(г, у) _ Соу(г, {а + рх + ц}) =

Ш   Cov(z,x) Cov(z,x)

= Covfoa)   Соу(г,рх)   Соу(г,и) =в Covfetf) CovU,x)    CovU,x)    CovU,x)   Р Cov(*,x)'

так как Cov (z, ос) равна нулю (а является постоянной) и Cov (z, рх) равна Р Cov (z, х). Таким образом, можно заметить, что оценка по методу инструментальных переменных равна истинному значению плюс ошибка, равная Cov (z, u)/Cov (z, x).    В больших выборках ошибка исчезает, так как

...       0   plimCov(z,w)   о    0 0

ии        plimCov(z,x) І5-*''

при условии, что переменная г действительно распределена независимо от и. Следовательно, на больших выборках Ьш будет стремиться к истинному значению р.

Почти ничего нельзя сказать о распределении оценки ЬИП на малых выборках, но при увеличении п ее распределение будет стремиться к нормальному с математическим ожиданием р и дисперсией:

а2 1

pop.var^^)-*    ц ,   х-^—,       /о ™ч

nn     лрор.уаг(х)   r2 ^o.jo; х, z

где гх г — выборочный коэффициент корреляции между X И Z-Сравним полученное выражение с дисперсией оценки МНК:

W.w(W-^)- (8-39)

Основное различие заключается в том, что дисперсия Ьш умножается на г Чем теснее корреляция между х и z, тем меньше будет этот коэффициент и, следовательно, тем меньше будет дисперсия Ьш. Следовательно, если мы стоим перед выбором между несколькими возможными инструментальными переменными, то следует выбрать наиболее тесно коррелированную с х, потому что при прочих равных условиях она даст наиболее эффективные оценки. Вместе с тем было бы нежелательно использовать инструментальную переменную, полностью коррелированную с х, даже если бы ее удалось найти, потому что тогда она автоматически оказалась бы коррелированной также и с и, и мы по-прежнему получили бы несостоятельные оценки. Нам нужна инструментальная переменная, наиболее тесно коррелированная с х, но без корреляции с и.

Что следует делать при невозможности найти инструментальную переменную, достаточно тесно коррелированную с х? Тогда можно вновь вернуться к методу наименьших квадратов. Если, например, критерием выбора оценки является ее стандартная ошибка, то вы можете предпочесть оценку МНК любой оценке, полученной по методу инструментальных переменных, несмотря на смещение, потому что здесь дисперсия меньше.

 

Использование инструментальных переменных для оценивания функции потребления Фридмена

В контексте гипотезы Фридмена о постоянном доходе впервые инструментальные переменные использовались Н. Ливиатаном (Liviatan, 1963). В распоряжении Н. Ливиатана были данные о потреблении и доходе в 883 домашних хозяйствах для двух последовательных лет. Обозначим потребление и доход в первом году через С, и У,, а во втором году — через С2 и Y2.

Н. Ливиатан обнаружил, что если теория Фридмена правильна, то Y2 может выступать в качестве инструментальной переменной для Yv Очевидно, что она, скорее всего, тесно коррелирована с Yv так что одно из двух условий для хорошей инструментальной переменной выполнено. Во-вторых, если переменная составляющая измеренного дохода за соседние годы некоррелирована, как это предполагал М. Фридмен, то Y2 будет некоррелирована со случайным членом зависимости между С{ и Yx таким образом, удовлетворено и другое условие.

Можно также попробовать использовать С2 как инструментальную переменную для Yr Она будет тесно коррелирована с Y2 и, следовательно, с Yl9 а также не будет коррелирована со случайным членом зависимости между С{ и Ур если в соответствии с гипотезой Фридмена переменные составляющие потребления не коррелированы друг с другом.

По аналогии с этим можно оценивать регрессии по данным за второй год, используя Yx и Сх в качестве инструментальных переменных для Y2. Н. Ливиатан опробовал здесь все четыре комбинации, разделив выборку на лиц наемного труда и ведущих собственное дело. Он обнаружил, что в четырех случаях оценки предельной склонности к потреблению были значимо большими при однопроцентном уровне значимости, чем те, которые были получены непосредственно методом наименьших квадратов. В одном случае оценка была значимо большей, чем оценка МНК при уровне значимости в 5\%, а в других трех случаях различие было незначимым; в целом полученные результаты подтверждают гипотезу постоянного дохода. Однако предельная склонность к потреблению в общем была не такой высокой, как средняя склонность к потреблению. Следовательно, полученные результаты не подтверждают гипотезу о единичной эластичности потребления по постоянному доходу, не явно предполагаемую соотношением (8.24).

 

Упражнения

В упражнении 8.1 количество труда L, применяемого фирмами, является линейной функцией от объема ожидаемых продаж:

L = у + ЬХе.

Объясните, как эта зависимость может использоваться исследователем для решения проблемы смещения, вызванного ошибками измерения.

В чем разница между инструментальной переменной и замещающей переменной (см. раздел 6.4)? Когда целесообразно воспользоваться одной из этих переменных и когда — другой?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |