Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

10.7. рациональные ожидания

Одним из потенциальных дефектов процесса адаптивных ожиданий и других похожих способов учета ожиданий является то, что получаемые с их помощью прогнозы в общем случае отличаются от прогнозов, получаемых с помощью модели в целом. Разработчик модели может встать на защиту этих методов, сказав, что субъекты, представленные в модели, обладают ограниченной информацией и не знают о других закономерностях и т. д., и как следствие их прогнозы будут уступать прогнозам, принимающим во внимание всю сложность данной модели.

В некоторых ситуациях это может быть обоснованной предпосылкой, но в большинстве случаев субъекты наверняка обладают не меньшей информацией, чем разработчик модели. Они далеко не наивны и в состоянии получать выводы, близкие к выводам разработчика модели, хотя и полагаются целиком на свои собственные представления и интуицию. В таких случаях механический подход к формированию ожиданий, как в методе адаптивных ожиданий, неадекватен. Наоборот, лучшей стартовой позицией будет принятие предположения, что все субъекты имеют доступ к модели и к получаемым с ее помощью прогнозам, и учет этого предположения внутренне присущ самой модели. Этот подход известен как подход с позиции рациональных ожиданий.

Для того чтобы сделать наши рассуждения более конкретными, рассмотрим модель спроса и предложения некоторого товара, производители которого определяют объем выпуска за один период до того, как поставить произведенный товар на рынок. Мы предположим также, что нельзя делать запасы товара, и рынок всегда приходит в равновесие. В результате имеем следующую модель: yf = a + to, + uf; (10.60) yf=S + epf+uf, (10.61)

где yf и yf — объемы спроса и предложения в период t, соответственно; pt — цена рыночного равновесия в период t pf — ожидаемое значение рп сформированное в период (г — 1); uf и uf — случайные члены. Когда рынок находится

в равновесии и yf = yf, модель дает следующее соотношение между реальной и ожидаемой ценой в период г.

 

p< = -p- + pri + -J-yJ-' (Ю-62)

В простейшей модели такого рода производитель предполагает, что цены периода (f — 1) будут действовать и в период £

pf = Pt-i. (Ю.63)

Это соотношение порождает так называемый «цикл поставок свинины», названный так по товару, рынок которого, как предполагается, ведет себя подобным образом. Пренебрегая на время воздействием случайных членов, из уравнений (10.62) и (10.63) получаем, что равновесие будет поддерживаться при условии:

а-5

Pt = Pt- =JZp' (10.64)

Если первоначально рынок находился в состоянии неравновесия, то поведение цен и выпуска будет таким, как показано на рис. 10.4, из которого видно, почему эта модель также называется паутинообразной (или паутинообразным циклом). (Первый формальный анализ свойств этой модели можно найти в работе М. Езекиела [Ezekiel, 1938].) В период t=0 производители принимают решения о том, сколько товара предложить в следующем периоде по текущей цене р0. Этот объем предложения (у,) представлен точкой А. Он меньше равновесного объема, и, следовательно, цена равновесия в период 1 (/?,) будет относительно высокой (точка В). Следуя предположению, что эта цена будет иметь место в периоде 2, производители значительно увеличивают свой выпуск (точка С), что приводит к относительно низкой равновесной рыночной цене (точка/)). Процесс будет сходиться, если функция спроса более эластична (крута), чем функция предложения, как на рис. 10.4.

Если функция спроса оказывается менее эластичной, то рынок с каждым циклом будет удаляться все дальше от Точки равновесия. Случайные члены лишь смещают действительные значения ри у ъ каждый период времени, но не меняют общий характер процесса.

Подобная модель формируется производителями, которые не понимают, что их собственные решения воздействуют на цену рыночного равновесия. Если же

производители осознали связь между спросом и предложением (а их представления об этом часто гораздо лучше, чем у рядового эконометриста), то они интуитивно будут использовать обобщенную модель для генерации своих ожиданий.

В таком случае ключевым становится уравнение (10.62), связывающее действительную цену с ожидаемой. Поскольку значение pf = £(/>,), т. е. ожидаемая

цена определяется как математическое ожидание цены в период г, полученное в период (г — 1), то мы имеем:

6-а   е *

pf = £(/>,) = Е

 

5-а єс и: - и,

            + о Pi' +          

р   р '    р )

Слагаемое (5 — ос)/р является константой и не изменяется под воздействием ожиданий. Значение E(pf) = pf, поскольку оба ожидания формируются в период (/—1). Случайные члены исчезают, поскольку их значение не может быть предсказано в период (г — 1). Решив уравнение, мы получим:

е   а - 5

л=7Тр- (Ю.66)

Как следствие, объем предложения в период / равен:

схе-рб s

У'=-^ + и'' (10-6?) а цена рыночного равновесия составит:

а-5 uf-uf

 

Если вся информация используется в модели подобным образом, паутинообразный цикл исчезает. Производители выпускают одинаковое количество товара в каждый период, не считая случайной составляющей, а цена всегдаявляется ценой равновесия плюс случайная составляющая, которая зависит от обоих случайных членов. (Более развернутый анализ использования принципа рациональных ожиданий в этом контексте см. в работе Дж. Муса [Muth, 1961]. Общий обзор предложен в работе С. Шеффрина [Sheffrin, 1983].)

 

Упражнение

 

10.12. Предположим, что в модели спроса и предложения функция спроса (10.60) заменена на

yf = <х + р/?/ +рсм +uf,

где Xj_x — располагаемый личный доход в период (t— 1), и он устойчиво возрастает в наблюдаемый период.

Какое воздействие это окажет на паутинообразный цикл?

Как будут определяться значения у и /?, если ожидания формируются рационально?

 

10.8. Предсказание

Предположим, что вы оценили модель

у, = а + рх, + к, (10.69)

на наблюдениях периода (t= 1,Т):

$=a + bxr (10.70)

Имея некоторое послевыборочное значение переменной jc, скажем, хт+р, вы можете предсказать соответствующее значение у:

$т+р =а+ Ьхт+р. (10.71)

Такие предсказания могут быть важными по двум причинам. Во-первых, вы можете быть одним из тех эконометристов, чья работа — заглядывать в экономическое будущее. Некоторые эконометристы изучают экономические закономерности с целью улучшить понимание того, как работает экономика, но для других это является лишь средством достижения более практичной цели — предвидеть, что может случиться. Во многих странах макроэкономическое прогнозирование имеет высокую репутацию, и коллективы эконометристов поддерживаются министерством финансов или другими правительственными органами, частными финансовыми учреждениями, университетами и исследовательскими институтами, и их предсказания активно используются для формирования и толкования государственной политики или в деловых целях. Когда подобные предсказания публикуются в печати, они, как правило, привлекают гораздо больше внимания, чем большинство других видов экономического анализа, в основном благодаря своей сути и тому, что в отличие от большинства других видов экономического анализа они легко могут быть поняты средним гражданином. Даже человек с совершенно нематематическим и нетехническим складом ума в состоянии понять, что подразумевается под оценками будущего уровня безработицы, инфляции и т. д.

Есть, однако, и другое применение эконометрического предсказания, которое делает его предметом заботы большинства эконометристов независимо от того, заняты они прогнозированием или нет. Оно дает метод оценки устойчивости регрессионной модели, который имеет большую исследовательскую направленность, чем диагностические статистики, использовавшиеся до сих пор.

Прежде чем продвигаться дальше, необходимо уточнить, что мы понимаем под предсказанием. К сожалению, в эконометрической литературе этот термин может иметь несколько различных значений в соответствии с пониманием хт+р в уравнении (10.71). Мы будем различать предсказания и прогнозы. Это разделение сделано в соответствии с обычным использованием терминов (например, у Э. Харвея [Harvey, 1981]), но тем не менее используемая здесь терминология не вполне стандартна.

 

Предсказания

 

Мы опишем ут+р как предсказание, если значение хт+р известно. Как это возможно? В общем случае эконометристы хотят включить все имеющиеся данные в выборку для максимизации ее размера и, как следствие, для минимизации дисперсии оценок, поэтому хт является последним зафиксированным значением х на момент оценки регрессии. Тем не менее возможны две ситуации, когда хг+р известны: когда вы ждете р или больше периодов после оценки регрессии и когда вы заранее ограничили период выборки так, чтобы у вас остались несколько последних наблюдений. Как мы увидим в следующем разделе, весомой причиной так поступать может стать возможность без задержки оценить прогнозную точность модели.

Так, например, обращаясь снова к уравнению (3.34) модели связи общей инфляции и инфляции заработной платы, предположим, что для всего периода выборки мы оценили уравнение

р = 1,0 + 0,8н>, (10.72)

где р и w — годовой уровень общей инфляции и инфляции заработной платы (в процентах) соответственно, и что мы знаем, что в один послевыборочный год уровень инфляции заработной платы составлял 6\%. Тогда мы можем утверждать, что предсказанный уровень общей инфляции равен 5,8\%. Мы, конечно, должны иметь возможность сразу сравнить его с действительным уровнем инфляции в этом году и рассчитать ошибку предсказания, которая равна разности между предсказанным и действительным значениями. В общем случае еслкут+р — предсказываемое значение, а ут+ — действительное, то ошибка предсказания fT+ определяется как

fT+p=yT+p-yT+p. (10.73)

Почему появляется ошибка предсказания? Это происходит по двум причинам. Во-первых, значение ут+ было рассчитано с помощью оценок параметров а и b вместо их реальных значений. Во-вторых, у т+р не учитывает воздействие случайного члена ит+р, являющегося составной частью у т+р. В дальнейшем мы будем предполагать, что данные включают (Т + т) наблюдений переменных, из них первые Т наблюдений (период выборки) используются для построения регрессии, а последние m (период, или интервал предсказания) применяются для анализа точности предсказания.

 

Пример

Предположим, что когда мы оценивали функцию спроса на продукты питания с помощью данных из табл. Б.1 и Б.2, мы использовали лишь первые 21 наблюдение из выборки, т.е. данные за 1959—1979 гг., оставив последние 4 наблюдения для анализа предсказаний. Полученное на выборке 1959—1979 гг. уравнение выглядит следующим образом (в скобках приведены стандартные ошибки):

16gу = 2,78 + 0,61 log х-0,42 log/?;   Л2 = 0,98. (10.74)

(0,42) (0,03) (0,12)

Значения у для периода 1980—1983 гг., предсказанные с помощью этого уравнения, при использовании действительных значений личного располагаемого дохода и относительной цены на продукты питания в эти годы, показаны в табл. 10.1 вместе с фактическими значениями этой переменной и ошибками предсказания. Предсказания, как и исходные данные, приведены в логарифмической шкале. Для удобства в табл. 10.1 показаны также абсолютные значения, выраженные в миллиардах долларов (в ценах 1972 г.), которые могут быть рассчитаны на основе значений логарифмов.

Как мы видим, предсказанные значения расходов на продукты питания примерно на 2—3 процентных пункта ниже фактических значений. Может ли такое предсказание считаться удовлетворительным? Мы обсудим это в следующем разделе.

Прогнозы

 

Если вы хотите предсказать конкретное значение ут+р, не зная действительное значение хт+р, то говорится, что вы делаете прогноз (по крайней мере, если использовать терминологию этого текста). Макроэкономические предвидения, публикуемые в прессе, обычно являются прогнозами в таком смысле. Политиков, а в особенности широкую публику мало интересуют «двусторонние» экономисты, рассуждения которых имеют вид «с одной стороны... но если нет, то с другой стороны...». Обычно все желают точных однозначных оценок, дополненных, может быть, границами возможной ошибки, но часто даже и без этого. Прогнозы менее точны, чем предсказания, поскольку они подвержены воздействию дополнительного источника ошибки — предсказания значения хт+р. Очевидно, что делающий прогноз эконометрист пытается, как правило, минимизировать эту дополнительную ошибку, моделируя как можно более точно поведение переменной х. Иногда для нее строят отдельную модель, иногда совмещают в одну модель уравнение для у и уравнение для х, дополняя их множеством других соотношений и оценивая так называемую систему одновременных уравнений (что рассматривается в главе 11).

 

Свойства предсказаний, полученных с помощью МНК

В последующих рассуждениях мы сосредоточимся в основном на предсказаниях, а не на прогнозах и рассмотрим свойства коэффициентов уравнения регрессии и свойства случайного члена, а не переменной х в случае, когда ее значения неизвестны. И в этом есть положительные моменты. Если значение уг+р порождается тем же процессом, что и выборочные значения переменной у [то есть в соответствии с уравнением (10.69), где ит+р удовлетворяет условиям Гаусса—Маркова], и если мы строим предсказание ут+ с помощью уравнения (10.71), то ошибка предсказания fT+ будет иметь нулевое среднее значение и минимальную дисперсию.

Первое свойство можно продемонстрировать довольно просто:

E(fr+P)= Е(Ут+Р)- =

= E(a + bxT+p) - E(a + $хт+р + uT+p) =

= E(a) + xT+pE(b) - a - $xT+p - E(uT+p) =

= a + $xT+p - a - pxr+/, = 0, (10.75)

поскольку E(a) = a, E(b) = p и E(uT+p) = 0. Мы не будем доказывать свойство минимума дисперсии (доказательство можно найти у Дж. Джонстона [Johnston, 1984] или Дж. Томаса [Thomas, 1983]). Оба эти свойства сохраняются и для общего случая множественного регрессионного анализа.

В случае уравнения парной регрессии выборочная дисперсия fT+ определяется как

Подпись: 2Л

pop.var(/r+p) =

1 + і + <*т+,-хї

о» =

х?

1 + —+ ——f-п /ivar(x)

 

(10.76)

 

где х и Var (х) — выборочное среднее значение и дисперсия переменной х. Из формулы следует, и это неудивительно, что чем больше значение х отклоняется от выборочного среднего, тем больше дисперсия ошибки предсказания. Из формулы также следует, и это вновь неудивительно, что чем больше объем выборки, тем меньше дисперсия ошибки предсказания с нижним пределом,

равным ol. С ростом объема выборки оценки а и b стремятся к истинным значениям соответствующих коэффициентов (в случае выполнения условий Гаусса—Маркова), и единственным источником ошибки при предсказании будет случайный член ит+, а он по определению имеет дисперсию ol.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |