Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

11.1. смещение при оценке одновременных уравнений

Ошибки измерения—не единственная возможная причина нарушения четвертого условия Гаусса—Маркова. Причиной может стать смещение, порождаемое системой одновременных уравнений, и этот случай лучше объяснить на примере.

Предположим, что вы хотите оценить параметры уравнения функции потребления в простой кейнсианской модели формирования доходов:

Cf = a+ (11.1)

Y,= Ct+Ir (11.2)

Модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. В модели используются традиционные обозначения системы национальных счетов, где Yy С и / представляют совокупный выпуск, объем потребления и инвестиций соответственно. Здесь мы не принимаем во внимание концепцию Фридмена, поскольку рассматриваемая проблема является достаточно самостоятельной, и предполагаем, что уравнение (11.1) описывает поведенческую зависимость. В таком упрощенном виде это предположение не очень реалистично, но оно поможет нам в решении поставленной задачи.

После подстановки выражения (11.1) в (11.2) и преобразования мы сможем найти значение У для любого момента времени:

v     a      I, и,

у' = Щ + ЇГр+ТГр- <ВД

Первые два слагаемых в правой части уравнения знакомы каждому, кто имеет даже поверхностное представление о кейнсианской теории формирования дохода. Эти слагаемые показывают, что совокупный уровень доходов зависит от постоянной составляющей объема потребления и от объема инвестиций. Если объем инвестиций возрастает на единицу, то совокупный доход увеличится на 1/(1 — Р) единиц. Это и есть знаменитый мультипликатор.

Здесь важно также заметить, что уровень совокупного дохода зависит и от величины и — случайного члена в уравнениях функции потребления. Как это происходит? Предположим, что в некоторый год в стране отдельные неэкономические причины вызвали увеличение объема потребления. Пусть какое-то важное событие вызвало рост общественных и личных расходов. Это будет отражено высоким положительным значением и в данном году, поскольку роль величины и и заключается в улавливании подобных воздействий. Поскольку объем потребления увеличился из-за таких необычно высоких расходов, объем выпуска также возрастет согласно базовому соотношению (11.2). Рост выпуска означает рост доходов, которые в свою очередь вызовут дополнительное увеличение объема потребления через переменную К в функции потребления (11.1). Как следствие на такую же величину повысится и объем выпуска. Дополнительный прирост выпуска и, следовательно, доходов снова скажется на объеме потребления и т. д. Если и будет иметь отрицательные значения, то последствия окажутся аналогичными, только доходы и выпуск уменьшатся.

Описанный процесс представляет такой же эффект мультипликатора, как и в случае изменения объема инвестиций, и значение мультипликатора будет точно таким же: 1/(1 — Р). Отсюда — появление слагаемого и/(1 — р) в формуле (11.3). Если вы ставите перед собой единственную цель — увеличить выпуск и поднять уровень занятости, то для этого можно с одинаковым успехом расходовать деньги как на предметы роскоши, так и на инвестиции. Если вы не читали басню Б. Мандевиля «Ропчущий улей» (1705), перепечатанную позже как часть «Басен о пчелах», то советуем прочитать эту вещь.

Так или иначе, поскольку величина Y включает случайную составляющую и/( — Р), она автоматически оказывается коррелированной со случайным членом в уравнении (11.1), и четвертое условие Гаусса—Маркова нарушается. Поэтому если попробовать оценить значения а и Р с помощью МНК, то полученные оценки будут смещенными, а рассчитанные стандартные отклонения — некорректными.

О свойствах оценок на малых выборках мало что можно сказать. То, что происходит на больших выборках, зависит от поведения объясняющей переменной (переменных) модели. Далее в этой главе мы будем обычно предполагать, что дисперсии переменных и ковариации между ними на больших выборках стремятся к некоторым конечным пределам. Если это предположение выполняется, то оценки, полученные с помощью МНК, несостоятельны.

В рассматриваемой модели, если Var(7) на большой выборке стремится к пределу с/, то величина b будет стремиться к

0 + ^. (П.4)

 

и ошибка оценивания будет не нулевой (доказательство этого факта см. в приложении 11.1).

Содержательные экономические соображения позволяют нам предположить, что 0<р< 1, поэтому величина (1 — р) будет положительной. Поскольку значения дисперсии всегда положительны, второе слагаемое в правой части формулы также будет положительным. Как следствие на больших выборках в данной модели величина b (оценка параметра Р) окажется смещенной вверх.

Величина ошибки будет зависеть: 1) от отклонения р от единицы и 2) от отношения аи2 к а/, т. е. от отношения дисперсии случайного члена к дисперсии объема инвестиций. Чем больше значения этих двух величин, тем серьезнее проблема. Предположим для примера, что отношение дисперсий равно '/4, а значение р = 0,75. В таком случае b будет стремиться к величине 0,75 + 0,25 х (0,25/1,25), то есть к 0,80.

Проблема смещения, порождаемого системой одновременных уравнений, может быть разрешена путем замены МНК на другой метод оценивания. В следующих разделах мы обсудим три таких подхода. Все они — методы оценивания отдельного уравнения, в которых работа с каждым уравнением модели осуществляется самостоятельно. Системные методы, в которых все параметры уравнений оцениваются одновременно, в принципе более эффективны, однако мы оставляем их за рамками данной книги.

Что происходит, если значения дисперсии и ковариации объясняющих переменных не стремятся к некоторому конечному пределу? Предположим, например, что переменные имеют тренд и их дисперсии и ковариации между ними неограниченно возрастают. В таком случае МНК в итоге может оказаться состоятельным (работа Я. Кменты [Kmenta, 1984]). В разбираемой простой модели, если Var(/) неограниченно возрастает, то на больших выборках ошибка в оценке коэффициента регрессии исчезает и МНК обеспечивает состоятельную оценку. Однако даже в этом случае может оказаться более желательным использовать альтернативные методы оценивания, поскольку на малых выборках они имеют лучшие свойства.

 

Упражнение

11.1. В некоторой аграрной стране объем совокупного потребления обычно составляет 2000 единиц плюс случайная величина z, значение которой зависит от погоды. Среднее значение z = 0, стандартное отклонение — 100. Совокупный объем инвестиций изменяется согласно четырехлетнему циклу, начиная от 200, возрастая до 300 в следующем году, затем падая последовательно до 200 и 100, возвращаясь обратно к 200, и т. д. Совокупный доход Уравен сумме С и /. В таблице приведены данные о значениях С, In Уза 20 лет (в качестве z использовалась нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением, умноженная на 100).

Традиционный экономист, используя приведенные данные, получит следующее уравнение регрессии для зависимости С от У (в скобках приведены значения стандартных ошибок):

(? = 512 + 0,68 У;        Л2 = 0,67;

(252) (0,11)     F= 36,49.

t

С

/

Y

t

С

/

Y

1

1813

200

2013

11

1981

200

2181

2

1893

300

2193

12

2211

100

2311

3

2119

200

2319

13

2127

200

2327

4

1967

100

2067

14

1953

300

2253

5

1997

200

2197

15

2141

200

2341

6

2050

300

2350

16

1836

100

1936

7

2035

200

2235

17

2103

200

2303

8

2088

100

2188

18

2058

300

2358

9

2023

200

2223

19

2119

200

2319

10

2144

300

2444

20

2032

100

2132

 

 

Объясните, как получены данные результаты, несмотря на то что величина С совсем не зависит от Y. Объясните также, почему некорректны тесты для /-статистики и ^-статистики.

 

11.2. Структурная и приведенная формы уравнений

Для удобства договоримся сначала о терминологии. В процессе оценивания параметров уравнений экономической модели важно различать эндогенные и экзогенные переменные. Приставки эндо- и э/сзо- обозначают относящееся соответственно к внутреннему и к внешнему. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри модели. В модели формирования дохода, представленной уравнениями (11.1) и (11.2), Си У являются эндогенными переменными, которые принимают свои значения в уравнении функции потребления и тождестве для совокупного дохода. Экзогенной является переменная, значение которой определяется вне модели и поэтому берется как заданное. В модели формирования дохода / — экзогенная переменная. Модель не объясняет, как получаются значения этой переменной, они просто используются как наперед заданные.

Приведенная классификация важна, поскольку она позволяет сказать, как действительно определяются значения эндогенных переменных. Модель формирования дохода, трактуемая буквально, говорит о том, что величина С зависит от У и и, но это слишком упрощенное понимание. Учитывая тождество для совокупного дохода, так же верно (или так же неверно) было бы утверждать, что значение Y зависит от С. Для того чтобы выбраться из замкнутого круга, необходимо преобразовать уравнения и выразить как К, так и С через их действительные детерминанты - 7и«.

Это уже было сделано для У в уравнении (11.3). Для того чтобы получить аналогичное уравнение для С, подставим значение У из (11.3) в (11.1) и после преобразования получим:

^-iVrVi^ <»-5>

Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели. Их можно разделить на две группы: поведенческие уравнения, описывающие эмпирические взаимосвязи между переменными, и уравнения-тождества. Уравнение (11.1) — пример поведенческого уравнения, а

— тождества. Единственное практическое различие между ними, с точки зрения эконометриста, заключается в том, что тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайного члена.

Уравнения, показывающие, как в действительности определяется значение эндогенных переменных, называются уравнениями в приведенной форме. Это уравнения, в которых эндогенные переменные выражены исключительно через экзогенные переменные и случайные составляющие. В разбираемом примере

и (11.5) являются уравнениями в приведенной форме.

Как быть, если одно (или более) структурное уравнение содержит в качестве объясняющих переменных лаговые значения эндогенных переменных? Предположим, что функция потребления имеет следующий вид:

С^а + р^ + р^ + и,, (11.6)

как ее представляет, например, Т. Браун (Brown, 1952). Поскольку рассматриваемый период времени задан, значение С^, фиксировано и является предопределенным. В такой модели уравнения в приведенной форме отражают зависимость эндогенных переменных от предопределенных переменных, часть из которых являются экзогенными, значения других определяются в предшествующие периоды времени. Приведенная форма уравнения для Уг в данном случае имеет вид:

v        а          h P2Q-I

=          +          а   + Г   о +

1 - Pi     1 -Pi      1 —Pi 1-Pl

(П.7)

 

 

Упражнения

11.2. Упрощенная модель закрытой экономики состоит из уравнений функции потребления, инвестиционной функции и тождества для национального дохода:

С, = сс + рГ, + и,; /, = 5 + гг, + v,;

 

где С, — объем личных потребительских расходов в году /; /, — объем инвестиций; Gt — совокупные государственные расходы; Yt — валовой выпуск; гТ — ставка процента в текущем году. Укажите, какие переменные в модели являются эндогенными, а какие — экзогенными.

11.3. В модель добавлены уравнение спроса на деньги и условие равновесия на денежном рынке:

 

М", = Л/,,

где Mdt — спрос на деньги в году /; Mt — предложение денег, величина которого задана экзогенно. Установите, какие переменные являются эндогенными, а какие — экзогенными в такой расширенной модели.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |