Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

11.3. косвенный метод наименьших квадратов (кмнк)

 

Как мы убедились, попытка непосредственного оценивания параметров а и р уравнения функции потребления дает смещенные оценки, так как объясняющая переменная Уявляется эндогенной и частично зависит от и. Обратимся еще раз к (11.5) — приведенной форме уравнения для переменной С из исходной модели. Это уравнение может быть представлено в следующем виде:

С, = а'+р'/,+ "'„ (11.8)

где а'= а/(1 - Р), Р'= р/(1 - Р) и ы',= ы,/(1 - Р).

Если использовать данные о величинах С и /для оценки параметров уравнения (11.8), то проблемы смещения, порождаемого одновременными уравнениями, не возникает. Объясняющей переменной является объем инвестиций, который предполагается экзогенным и, как следствие, не связанным с и. В итоге случайный член и удовлетворяет четвертому условию Гаусса—Маркова. Поэтому если вы оцените (11.8) с помощью МНК и получите:

6= д'+/>'/,, (11.9)

то а 'будет несмещенной оценкой для a', a b' — для Р'.

Возвращаясь к исходной форме уравнения, можно получить оценки а и b параметров аир. Учитывая определения а'и Р'в (11.8), можно выразить а'нЬ' через а и b следующим образом:

а'=тЬ> и b'=ih- <1U0>

Выражая а и b через а' и Ь получим:

a=ih  и  * = Т77- <11Л1>

Поскольку мы можем получить единственное выражение для а и b через оценки а' и Ь уравнение называется однозначно определенным (идентифицируемым). В следующем разделе мы рассмотрим случай, когда нельзя получить единственные исходные значения а и Ь, и такое уравнение называется недоопределенным (неидентифицируемым), а также когда нельзя получить никакого решения, — в случае переопределенного (сверхидентифицированного) уравнения.

Пример

Проиллюстрируем наш подход с помощью эксперимента по методу Монте-Карло. Предположим, что реальная функция потребления представлена в виде:

С,= 100 + 0,75У, + и„ (П.12)

а случайный член и равен умноженному на 50 случайному числу, взятому из выборки с нормальным распределением, нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением. Значения С, и Yt получаются из уравнений в приведенной форме (11.3) и (11.5), которые в данном случае имеют вид:

С, = 400 + 3/, + 4м,; (11.13)

У, = 400 + 4/, + 4и,. (11.14)

Взяв 20-летний период времени, предположим для простоты, что объем инвестиций равен 200 в первый год и возрастает на 10 в каждый последующий год, достигая 390 в 20-й год. Оценка уравнения регрессионной зависимости С от К с помощью МНК дает:

6=-84 + 0,87У,;           Д2 = 0,99. (11.15)

(с. о.) (38) (0,02)

Как видим, получаемая оценка р слишком велика по сравнению с ожидаемым ее значением. Оценка а вообще имеет противоположный знак.

Проверим, насколько соответствуют полученные результаты выражению (11.4) для смещения на больших выборках. Значение Var (/) = 3325, аа2 = 2500, поэтому на больших выборках имеем:

* -> °'75 + (1^5)^nnQQ = °'75 + О' = °'86-   (11-16)

3325 + 2500

Как видим, в данном конкретном случае значение оценки на малой выборке весьма близко к значению, получаемому на большой выборке.

Используем теперь КМНК на тех же данных. Уравнение регрессионной зависимости С, от It может быть оценено следующим образом:

6=167+3,84/,;  Л2 = 0,53. (11.17)

(с. о.)(258) (0,86)

Используя (11.11), мы получим функцию потребления

6=34+ 0,797„ (11.18)

которая гораздо ближе к истинной модели. Тем не менее вы можете продолжать сомневаться в преимуществе КМНК, поскольку он дал меньшее значение коэффициента R2 (0,53 вместо 0,99) и большие стандартные ошибки. Однако высокое значение коэффициента Л2 в исходном уравнении является неизбежным. Даже если между С и У нет никакой экономической связи, вы получите большое значение коэффициента Л2 при построении уравнения регрессионной зависимости С от Y. Причина заключается в том, что расходы на потребление составляют значительную часть совокупных доходов, и регрессия между Си К не сильно отличается от регрессионной зависимости Сот С.

Что касается стандартных ошибок, то в любом случае нарушения условий Гаусса—Маркова они рассчитываются неточно. Если вы определили 99-процентный доверительный интервал для Ь, используя оценку и стандартную ошибку, полученные на основе (11.15), но не принимая во внимание проблемы, вызванные смещением, то может оказаться, что этот интервал даже не включает истинное значение.

Конечно, слишком поспешно делать подобные обобщения на основе единственного эксперимента. В табл. 11.1 приведены результаты проведения экспериментов на десяти различных наборах случайных чисел для 20 наблюдений переменной и. В левой части табл. 11.1 показаны результаты построения уравнения регрессии между Си Yc помощью МНК. В середине таблицы даны оценки для приведенной формы уравнения регрессионной зависимости С от /. В правой части таблицы, производной от ее средней части, приведены соответствующие оценки функции потребления, полученные с помощью КМНК. Анализ таблицы показывает, что оценки, рассчитанные на основе КМНК, почти всегда лучше оценок на базе МНК и что оценки МНК параметра р близки к значению, полученному в уравнении (11.16).

 

Упражнения

Два исследователя пришли к выводу, что следующая простая модель формирования дохода применима для описания некоторой закрытой экономики:

С, = сс + рГ, + //,;

у,= с, + /„

где Y, С и / — совокупный доход, объем потребления и инвестиций соответственно; и — случайный член. Используя одинаковые временные ряды для Y, С и /, один исследователь построил уравнение регрессионной зависимости С от /, другой — регрессионной зависимости У от /, и они получили следующие результаты:

6=4120+4,0/,; fr=4120+ 5,0/,.

Покажите, что оба подхода дают одинаковые оценки аир.

Обоснуйте математически, почему в предыдущем упражнении полученные результаты должны быть одинаковыми.

Метод наименьших

д^во    Косвенный метод наименьших квадратов

К ВЫДра TUB

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |