Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

1.2. несколько основных правил расчета ковариации

Есть несколько важных правил, которые вытекают непосредственно из определения ковариации. Поскольку они будут многократно использоваться в последующих главах, имеет смысл сформулировать их сейчас:

 

Правило 1

Если у = v + w, то Cov (х, у) = Cov (х, у) + Cov (х, w). Правило 2

Если у = az, где a — константа, то Cov (х, у) - a Cov (х, z)-Правило З

Если у = я, где а — константа, то Cov (х, у) = 0.

Сначала эти правила будут проиллюстрированы на примерах, и мы проверим их выполнение, после чего будут приведены доказательства. В большей части данной книги важнее понимать, что означают эти правила и как ими пользоваться, чем уметь доказывать их, но на самом деле доказательства нетрудны.

 

Демонстрация и доказательство правила 1

 

Допустим, что у нас есть данные по шести семьям (домохозяйствам), приведенные в табл. 1.3: общий годовой доход (х); расходы на питание и одежду (у)

Легко показать, что именно так и должно быть. Рассмотрим і'-ю семью. (хі-х)(уі-у) — это ее вклад в величину Со(х,у). Поскольку = vy + wy. и у = у + w, то

 

(х7- - x)(yt -у) = (х7- - x)(v7. + wg - v - w) = (х7- - x)(v7- - v) + (x7. - x)(w7. - w),       (1.2)

и, таким образом, мы показали, что вклад семьи / в Cov(x, у) является суммой ее вкладов в Cov(x, v) и Cov(x, w). То же самое справедливо для всех семей и, соответственно, для ковариации в целом.

 

Демонстрация и доказательство правила 2

 

В табл. 1.3 последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение^. Предполагается, что значения величины* для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x, z)

нам, как и ранее, необходимы значения (х-х), а также (z-z) (табл. 1.5).

Из табл. 1.5 можно видеть, что Cov(x, z) равна 532 500, что в точности равно удвоенной Cov(x, у). Таким образом мы проверили, что Cov(x, 2у) совпадает с 2Cov(x,.y).

И снова легко видеть, почему так получается. Рассмотрим первую семью. Поскольку z{ = 2y{ и z = 2y, а (х, -x)(zj - z) равно (Х{ -х)(2у{ -2у) и, следовательно, равно 2(х{ -х)(ух - у), то вклад первой семьи в величину Cov(x, z) в точности равен двойной величине ее вклада в Cov(x, у). То же самое справедливо для всех других семей. Средняя величина (x-x)(z-z) поэтому равна удвоенной средней величине (х-х)(у-у) и, таким образом, Cov(x, z) ~ 2Cov(x, у). Обобщая, получим, что если z = ay (и отсюда z-ay), то

 

Cov(x, z) = 2Cov(x, У) = ~1Ї (*/ - *)(*/ ~ІЇ =     (*/ - *)(аУі ~ аУ) =

 

= ^K*/ - x)(y§ -y) = aCov(x,y). (1.3)

 

Демонстрация и доказательство правила З

Это совсем просто. Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению вы решили вычислить ковариацию между общим доходом (х) и числом взрослых в семье (д). Естественно, что а{ = а2 =... = а6 = 2. Таким образом, а = 2. Отсюда для каждой семьи

(а - а) = 0 и, следовательно, (х - х)(а -я) = 0. Поэтому Cov(x, а) = 0.

Если вы настаиваете на построении обычно используемой в таких случаях таблицы, то она будет выглядеть как табл. 1.6.

Дальнейшие выводы

Пользуясь этими основными правилами, вы можете упрощать значительно более сложные выражения с ковариациями. Например, если какая-то переменная равна сумме трех переменных - и, v и w, то, пользуясь правилом 1 и разбив у на две части (ии v + и>), получим:

Cov(x, у) = Cov(x, u + v + w) = Cov(x, u) + Cov(x, v + w) (1.4)

и, снова воспользовавшись правилом 1, имеем:

Cov(x, у) = Cov(x, и) + Cov(x, v) + Cov(x, w). (1.5)

Другой пример: если y = a+bz, где а и Ь — константы, a z — переменная величина, то, пользуясь последовательно правилами /, 3 и 2, получим:

Cov(x, у) = Cov(x, а) + Cov(x,     = 0 + Cov(x,     = £Cov(x, z).       (1.6)

При наличии небольшой практики выполнить эти преобразования не составит труда.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |