Имя материала: Введение в эконометрику

Автор: Кристофер Доугерти

Косвенный метод наименьших квадратов

 

Тот же самый результат мы получим с помощью КМНК. Предположим, что мы применили МНК для оценивания параметров приведенной формы уравнений и имеем:

Р = а' + Ь'х; (11.29) y = d' + ex. (11.30) Предположим, что получены следующие оценки:

^ = 2,0 + 0,02х; (11.31) у = 8,0 + 0,06х. (11.32)

Используя (11.27), выведем следующие соотношения между оценками параметров уравнений в приведенной форме и оценками параметров уравнений в структурной форме:

,   a-d     ,,     с ae-bd   се         /чч ...

а = —-; * = —г; rf=    г-; « =—г- (П.зз)

e-b       е-b       e-b       е - b

В численном примере для расчета структурных коэффициентов мы располагаем следующими уравнениями:

^ = 2,0; -^ = 0,02; ^^ = 8,0; ^- = 0,06. (Ц.34)

e-b       e-b       e-b       e-b       v 7

Настораживает то, что имеется пять неизвестных, а уравнений — всего лишь четыре. Однако мы можем достичь некоторых результатов.

Во-первых, мы можем получить оценку е из второго и четвертого соотношений (11.34):

се

е - е-Ъ _с

Ь'~ _^ (11.35) е-Ь

Следовательно, в нашем численном примере е = 0,06/0,02 = 3.

Во-вторых, хотя это и менее очевидно, первое и третье соотношения (11.33), а также оценка е дают возможность получить оценку d:

,,    ,   ае - bd   ае - de    de-bd    ,       /л л

d-ea =  — =     — = d. (11.36)

e-b      e-b      e-b v

Следовательно, в нашем численном примере d = 8,0 — (3 х 2,0) = 2,0. Это позволяет получить следующую оценку уравнения предложения:

у5 = 2,0 + 3,0р. (11.37)

Однако получить однозначные оценки a, b и с оказывается невозможным. У нас осталось два уравнения и три неизвестных. Можно, например, задать произвольное значение с, а затем найти значения а и А, но полученное решение будет, очевидно, непригодным. Проблема заключается в том, что связь между параметрами уравнений в структурной и приведенной формах слишком гибка.

Через оценки параметров уравнений в приведенной форме мы можем получить однозначные решения для d и е, но не для a, b или с. Это позволяет сделать вывод, что уравнение предложения определено, а уравнение спроса — недооп-ределено.

Что будет в случае, если спрос не зависит значимо от дохода? Это означает пренебрежимо малую величину параметра у в уравнении (11.21) и как следствие параметров р'и є'в (11.25) и (11.26) [см. определение b (11.27)]. Поэтому в уравнении (11.35) при расчете е мы будем делить оценку 0 на другую оценку 0, и полученный результат окажется бессмысленным. Следовательно, и оценка d, полученная из (11.36), будет бессмысленной. В итоге ни одно из уравнений не определено.

Упражнения

 

11.6.    Предположим, что в долгосрочном периоде компании финансируют ин-

вестиции / преимущественно из прибыли П, а объем получаемой прибыли за-

висит от инвестиций. На этой основе исследователь построил следующую мо-

дель корпоративного сектора экономики:

/, = а + рп, + и,;

П, = 5 + є/, + XI^ + v„

где индекс t обозначает текущий год, (t— 1) — предыдущий год, a ut и v, — случайные члены, не подверженные автокорреляции.

1)         Определено ли какое-либо из уравнений? Объясните ваш ответ.

2)         Что вы можете сказать о коэффициентах при переменных на основе при-

веденных ниже значений ковариации и дисперсии, рассчитанных на базе дан-

ных о промышленном секторе экономики за 25-летний период?

Соу(П„ /,) = 57,0; Уаг(П,) = 113,0;

Cov</„ /,_,) = 20,0; Var(//) = 30,0;

Cov (П„ 1^) - 45,0; Var (/,_,) = 29,0.

(Величины П,, It и     измерены в миллиардах долларов в ценах 1985 г.)

11.7.    Предположим, что в модели спроса и предложения товара как кривая

спроса, так и кривая предложения сдвигаются со временем: первая — из-за из-

менения вкусов покупателей, вторая — из-за технического прогресса, делаю-

щего производство более дешевым. В этом случае структурные уравнения мож-

но переписать в следующем виде:

Уф = а + РЛ + У + udv у„ = 5 + ер, + Xt + u5t

У* = У5г

Предположим, что уравнения в приведенной форме имеют вид:

р,= 1,2 + 0,04/;

у, = 7,6 - 0,38/.

Покажите, что уравнениям в приведенной форме соответствуют обе следующие модели:

(А)    Уф= 10 - 2/>, - 0,3/; уя = 4 + Зр, - 0,5/;

И

(Б) ^=8,8-^-0,34/; уя = 5,2 + 2Рг - 0,46/.

Комментарий: Только ли эти две модели в структурной форме соответствуют уравнениям в приведенной форме?

11.6. Сверхидентифицированность

 

Рассмотрим теперь модель, в которой спрос имеет временной тренд, скажем, потому что привычки медленно меняются со временем. Предположим, что спрос зависит также от дохода, и мы имеем:

^, = a + p/>, + YX, + p/ + w,,; (11.38)

Ъ = 8 +(11.39)

где /— переменная времени; р — коэффициент при ней. Исследуем, как и прежде, эффективность метода ИП и КМНК.

 

Метод инструментальных переменных

В модели две экзогенные переменные — х, и г. Однако обе эти переменные присутствуют в уравнении спроса, и мы не можем использовать их как инструментальные для рг Как следствие уравнение спроса оказывается недоопреде-ленным.

Однако в случае уравнения предложения у нас имеется широкое поле выбора. Модель, в которой экзогенных переменных, которые могут использоваться как инструментальные, больше, чем необходимо, называют переопределенной. Можно использовать как хп так и / в качестве инструментальных переменных для рг Полученные таким способом оценки 5 и є будут различаться, однако в обоих случаях они окажутся состоятельными. Какие из них использовать? Очевидно, те, которые более надежны, и поэтому на первом шаге можно рассчитать корреляцию переменных ср и выбрать ту из них, для которой корреляция выше. Однако можно сделать даже больше. Как мы покажем в следующем разделе, наилучшим решением в данном случае является применение так называемого двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК) и построение инструментальной переменной, которая является комбинацией хп t.

 

Косвенный метод наименьших квадратов Приведенная форма уравнений имеет вид:

 

_ ae-рб    те     pe tudl-Vusl

 

Переписав соответствующие уравнения регрессии как

р,= a'+ b'x,+ с'г, (П.42) y,= d'+e'Xl+n (11.43)

мы увидим, что ие'/b', и f'/c'дают оценку є. И хотя эти величины могут случайно совпасть, не существует выражения для е, которое одновременно удовлетворяло бы всем соотношениям между коэффициентами уравнений в приведенной и структурной формах. Так же нет удовлетворяющего всем соотношениям выражения для d. Уравнение предложения является переопределенным. В то же время уравнение спроса остается, как и прежде, недоопределенным.

Как следствие применение КМНК к рассматриваемой модели порождает сразу две проблемы: для уравнения предложения, поскольку связь между приведенной и структурной формами оказывается слишком тесной, и для уравнения спроса, поскольку эта связь становится слишком свободной. Однако, как и в случае применения метода ИП, эти проблемы асимметричны. В случае недо-определенности не хватает информации для фиксирования оценок параметров. Мы в принципе можем получить бесконечное число решений уравнений, не представляя, какое из них соответствует реальным значениям параметров. В случае переопределенности число решений больше одного, и, хотя эти решения различаются на малых выборках, все они состоятельны: разница между ними будет исчезать с ростом объема выборки. В разбираемом примере как е'/Ь так и f'/c 'являются состоятельными оценками е. Проблема заключается в выборе между ними, если нужно делать такой выбор. Однако в случае применения ДМНК проблемы такого выбора не возникает.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 |