Имя материала: Динамическое программирование в экономических задачах

Автор: Лежнёв А. В.

Задачи для самостоятельного решения

2.1. Решить задачу о распределении инвестиций между предприятиями И, П2 и Яз. Инвестируется сумма 6 усл. ден. ед. Сопоставить полученные оптимальные решения с решениями, предписывающими выделение всего объема инвестиций только одному из предприятий либо распределение инвестиций поровну между всеми предприятиями, и вычислить, сколько процентов прибыли теряется в каждом из этих случаев. Варианты исходных данных задачи приведены ниже в табл. 2.1.

2.2. Решить задачу о-распределении инвестиций между предприятиями Пі, П2и П3 по максимуму нормы прибыли. Инвестируется сумма от 3 до 6 усл. ден. ед. Сопоставить полученные оптимальные решения с решениями, предписывающими выделение всего объема инвестиций только одному из предприятий либо распределение 3 или 6 усл. ден. ед. поровну между всеми предприятиями. Вычислить, на сколько процентов снижается норма прибыли в каждом из этих случаев. Варианты исходных данных —в табл. 2.1.

Решить задачи 2.1 и 2.2 при дополнительном условии, что каждому предприятию должно быть выделено не менее 1 усл. ден. ед. инвестиций.

2.3. Решить задачу о загрузке транспортного средства с вариантами исходных данных, представленными в табл. 2.2. Сопоставить полученные оптимальные решения с решениями, предписывающими погрузку предметов только одного типа, и вычислить, сколько процентов стоимости перевозимого груза теряется в каждом из этих случаев.

2.4. Решить задачу о замене оборудования в следующей постановке. Руководство планирует деятельность предприятия на 5 лет. Установленное на предприятии оборудование в начале каждого года может быть продано по остаточной стоимости и заменено новым, приобретаемым по рыночной стоимости. Прогнозируемая рыночная стоимость оборудования М и стоимость С одной усл. ед. продукции предприятия (усл. ден. ед.) в зависимости от номера года (от 1 до 5) известна. Характеристики оборудования, к которым относятся производительность Р (усл. ед. продукции в год) и затраты на эксплуатацию Q (усл. ден. ед. в год), зависят от его наработки (под наработкой оборудования будем понимать число полных лет его эксплуатации). Оборудование может эксплуатироваться только при наработке, не превышающей 3 года. Остаточная стоимость оборудования равна стоимости, по которой приобреталось оборудование, уменьшаемой на 20 \% от исходного значения за каждый год эксплуатации. Замена оборудования связана с накладными расходами, составляющими 30 \% от стоимости приобретаемого оборудования. В начале планируемого периода установленное на предприятии оборудование имеет наработку xq лет, а приобреталось оно по цене Mq.

Требуется определить оптимальную стратегию обновления оборудования на 5 лет с целью достижения максимального суммарного экономического эффекта за весь планируемый период. Сопоставить полученное оптимальное решение с двумя допустимыми решениями, первое из которых реализует стратегию максимально частого обновления оборудования, а второе — стратегию максимального откладывания обновления.

Провести решение задачи со следующими вариантами исходных данных:

стоимость изначально установленного оборудования Mq — 400;

изначальная наработка оборудования жо = 1;2;3;

стоимость оборудования М, стоимость единицы продукции С и характеристики оборудования Р и Q имеют значения, представленные в табл. 2.3.

Указание. В данной задаче частный экономический эффект Zi определяется по формуле

_ Г S - М{г) + С (і) ■ Р(0) - Q(0) - 0,30 • М{і),   щ = 3;

Zi~   ■      С{г) ■ Р(жі_і) - Q(xi-i),   Щ = С,

в которой остаточная стоимость

S = M- (1 -0,20-Жі-і), где М представляет стоимость, по которой приобреталось оборудование, и вычисляется по формуле

_ = Г M(i - Xi-i),   Xi-i ^ і - 1;

I          M0,   Хі-і > г - 1.

Доказать, что неравенство хі > і эквивалентно условию отсутствия обновления оборудования за период с 1-го по г-й год включительно.

2.5. Решить задачу о распределении ресурсов со следующими вариантами исходных данных:

число шагов N = 2, производственная функция H(v) — 1п(1 + г>); число шагов N — 4, производственная функция Н(у) = v2 (последняя производственная функция не подчиняется закону убывающей эффективности, но является весьма простой и допускает построение явных решений для любого числа шагов N);

начальный объем ресурсов V = 1; 10; 100 усл. ед.;

коэффициенты производительности К = 20, К2 = 5; 10; 20; 40; 80;

коэффициенты потребления ресурсов:

Провести решение задачи со следующими вариантами исходных данных:

число шагов N = 2; 3; 4;

производственная функция H(v) — v2; y/v; ln(l + v); 1 - e~v-v/(l+v);

начальный объем ресурсов V = 1; 10; 100 усл. ед.;

коэффициент производительности К = 5; 10; 20; 40; 80;

коэффициент потребления ресурсов a = 0,1; 0, 3; 0, 5; 0, 7; 0,9.

 

0.1

0.2

0,1

0,3; 0,5; 0,7; 0,9

0,3

0,5; 0,7; 0,9

0,5

0,7; 0,9

0,7

0,9

 

2.6. Решить задачу о распределении ресурсов с резервированием в следующей постановке. Руководство планирует работу предприятия на период в N лет. В ходе работы предприятие получает прибыль, расходуя при этом некоторые ресурсы. В начале каждого года часть имеющихся на предприятии ресурсов включается в производство, а остальная часть ресурсов резервируется. Начальный объем ресурсов на предприятии равен V усл. ед. При включении в производство ресурсов в объеме v усл. ед. предприятие получает прибыль, равную Р(у) = KH(v) усл. ден. ед., и при этом расходует Q(v) = av усл. ед. ресурсов (здесь Н{у) — производственная функция, К — коэффициент производительности, а — коэффициент потребления ресурсов).

Требуется найти оптимальную стратегию распределения ресурсов, т. е. определить, сколько ресурсов необходимо включать в производство в начале каждого года для получения максимальной суммарной прибыли по всему периоду.

(Заметим, что данная задача легко сводится к рассмотренной выше задаче о распределении ресурсов, если ввести второе «фиктивное» предприятие 772, которое не дает прибыли и не потребляет ресурсов, т. е. характеризуется коэффициентами К2 = 0 и а2 = 0, а резервирование трактовать как направление ресурсов этому «фиктивному» предприятию. Тем самым данная задача проще рассмотренной выше и, в частности, допускает аналитические решения при большем числе шагов и в более широком классе производственных функций.)

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |