Имя материала: Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения

Автор: Афанасьев Михаил Юрьевич

Глава 7. сетевой анализ проектов. метод срм

Цели

В данной главе показаны возможности использования метода СРМ (Critical Path Method — метод критического пути) для контроля сроков выполнения проекта. Таким проектом может быть разработка нового продукта или производственного процесса, строительство предприятия, здания или сооружения, ремонт сложного оборудования и т.д.

При реализации проекта составляется график выполнения работ. Для того чтобы проект был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки выполнения этих работ. Усложняющим фактором является то, что работы взаимосвязаны. Одни работы зависят от выполнения других и не могут начаться, пока предшествующие работы не будут завершены.

Важной предпосылкой применения метода СРМ является предположение о том, что время выполнения каждой работы точно известно.

В результате использования метода СРМ удается получить ответы на следующие вопросы:

1. За какое минимальное время можно выполнить проект?

2. В какое время должны начаться и закончиться отдельные работы?

3. Какие работы являются «критическими» и должны быть выполнены точно в установленное время, чтобы не был сорван срок выполнения проекта?

4. На какое время можно отложить срок выполнения «некритической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполнения проекта в целом?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• наиболее раннее и наиболее позднее время начала работы;

• наиболее раннее и наиболее позднее время окончания работы;

• критический путь;

• длину критического пути;

• запас времени на выполнение работы.

Модели

Исходным шагом для применения метода СРМ является описание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Для описания проекта используются два основных способа: табличный и графический.

Рассмотрим следующую таблицу, описывающую проект:

В первом столбце указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во втором столбце указаны работы, непосредственно предшествующие данной. У работ А и В нет предшествующих. Работе С непосредственно предшествует работа В. Это означает, что работа С может быть начата только после того, как завершится работа В. Работе D непосредственно предшествуют две работы: А и С. Это означает, что работа D может быть начата только после того, как завершатся работы А и С. В третьем столбце таблицы для каждой работы указано время ее выполнения. На основе этой таблицы может быть построено графическое описание проекта (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 проект представлен в виде графа с вершинами 1,2, 3, 4 и дугами А, В, С, D. Каждая вершина графа отображает событие. Событие 1 означает начало выполнения проекта. Иногда такое событие обозначают буквой s (start). Событие 4 означает завершение проекта. Для обозначения такого события иногда используют букву f( finish). Любая работа проекта — это упорядоченная пара двух событии. Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3)(см. рис. 1). Работа D — упорядоченная пара событий (3,4). Событие проекта состоит в том, что завершены все работы, «входящие» в соответствующую вершину. Например, событие 3 состоит в том, что завершены работы А и С.

Рассмотрим другой проект, представленный следующей таблицей:

Графическое описание проекта, построенное по этой таблице, имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис.2

В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, которые указаны в таблице, использованы две «фиктивные» работы (3, 4) и (5, 6). На рисунке они показаны штриховыми линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами. Получив графическое представление проекта, мы обеспечили себе возможность провести расчеты методом СРМ.

Определения:

Путь — последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину. Например, {A, D, G} и {В, С, Е, С} — два различных пути, ведущие из вершины 1 в вершину 7 (см. рис. 2).

Длина пути — суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.

Критический путь — путь, суммарная продолжительность выполнения всех работ которого является наибольшей.

Ясно, что минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта, равно длине критического пути. Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время, то и срок окончания проекта будет отложен на то же время. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя бы одной работы на критическом пути.

Для того чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот или те из них, что имеют наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для больших проектов реализация такого подхода связана с вычислительными трудностями. Метод СРМ позволяет получить критический путь намного проще.

Пусть i и j — вершины, или события, проекта, (i,j) — работа проекта, s — событие «начало проекта» (start), f — событие «окончание проекта» (finish), Т — длина критического пути.

Введем следующие обозначения:

t(i,j) — время выполнения работы (i, j);

ES(i,j) —наиболее раннее время начала работы (i,j);

EF(i,j) —наиболее раннее время окончания работы (i,j);

LS(i,j) —наиболее позднее время начала работы (i,j),

LF(i,j) — наиболее позднее время окончания работы (i,j),

Ei — наиболее раннее время наступления события i;

Li — наиболее позднее время наступления события i;

R(i,j) — полный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения продолжительности выполнения всего проекта);

r(i,j) — свободный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения наиболее раннего времени Еi наступления последующего события j).

Если (i,j) — работа проекта, то имеют место соотношения:

для любого j ES(i,j) = Еi;

для любого i LF(i,j) = Lj.

Для того чтобы использовать метод СРМ для нахождения критического пути, необходимо для каждой работы (i,j) определить наиболее раннее время начала и окончания работы (ES(i,j) и EF(i,j)) и наиболее позднее время начала и окончания работы (LS(i,j) и LF(i,j)).

Метод СРМ описывается следующими соотношениями:

(1)

для любой работы (s,j), выходящей из стартовой вершины s проекта;

(2)

т.е. наиболее раннее время окончания любой работы (i,j) превышает наиболее раннее время начала этой работы (время наступления предшествующего события i) на время ее выполнения;

(3)

т.е. наиболее раннее время начала работы (q, j) равно наибольшему из значений наиболее раннего времени окончания непосредственно предшествующих ей работ;

(4)

т.е. длина критического пути равна наиболее раннему времени завершения проекта;

(5)

т.е. наиболее позднее время окончания любой работы, завершающей проект, равно длине критического пути;

(6)

т.е. наиболее позднее время начала любой работы меньше наиболее позднего времени окончания этой работы (времени наступления последующего события) на время ее выполнения;

(7)

т.е. наиболее позднее время окончания работы (/, q) равно наименьшему из значений наиболее позднего времени начала непосредственно следующих за ней работ;

(8)

т.е. полный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала или разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее окончания;

(9)

т.е. свободный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания работы.

Из приведенных выше определений и соотношений непосредственно вытекают следующие утверждения:

1. Длина критического пути равна Т.

2. Если R(i,j) = 0, то работа (i,j) лежит на критическом пути;

если R(i,j) > 0, то работа (i,j) не лежит на критическом пути.

3. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем r(i,j), то наиболее раннее время наступления последующего события не изменится.

4. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем R(i,j), то время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

Примеры

Пример 1. Реконструкция торгового центра.

Департамент Юго-Западного округа Москвы рассматривает возможность реконструкции торгового центра у станции метро «Юго-Западная». После сноса старых палаток проектом предусматривается строительство павильонов для сдачи их в аренду торговым фирмам. Работы, которые необходимо выполнить при реализации проекта, а также их взаимосвязь и время выполнения указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько работ на критическом пути?

2. Какова длина критического пути?

3. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы Е, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта?

4. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы В, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта (полный резерв времени)?

5. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы С, чтобы это не изменило наиболее поздний срок наступления последующего события (свободный резерв времени)?

Решение. Для того чтобы определить срок выполнения проекта, достаточно найти длину критического пути. Для этого построим графическое представление проекта (рис. 3).

Рис.3

Критический путь для этого проекта может быть найден с помощью прямых расчетов по методу СРМ, описанному в разделе «Модели». Те же результаты можно получить, воспользовавшись программой POMWIN. Для этого достаточно ввести в программу исходную информацию, описывающую проект в виде следующей таблицы:

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы:

Эта таблица содержит информацию, позволяющую ответить на все вопросы задачи. Строка «Project 26» указывает на то, что длина критического пути равна 26. На критическом пути лежат все работы, значения резерва времени которых, указанные в последнем столбце, равны нулю. Это работы А, Е, F, G, I.

Таким образом, если отложить начало работы Е, то срок выполнения проекта увеличится. В то же время работу В можно начать не в нулевой момент времени, а в момент 6, т.е. начало выполнения работы В можно отложить на 6 недель. Критический путь для этого проекта показан на рис. 4 полужирными стрелками.

Рис. 4

Возможен другой способ введения исходной информации в программу POMWIN. Этот способ использует графическое представление проекта и как следствие описывает дуги в виде пары вершин. Соответствующее описание проекта приведено в следующей таблице:

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы:

Ответы:    1. Пять работ. 2. 26 недель. 3. Начало выполнения работы E отложить нельзя. Ответ — 0.

4. На шесть недель. 5. На три недели.

Вопросы

Вопрос 1. Метод СРМ разработан для:

1) описания проектов путем указания всех работ, предшествующих данной работе;

2) описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

3) минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

4) нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы;

5) нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ.

Вопрос 2. Узел-событие сетевого графика выражает результат:

1) начаты все работы, выходящие из узла;

2) закончены все работы, входящие в узел;

3) начата хотя бы одна работа, выходящая из узла;

4) закончена хотя бы одна работа, входящая в узел;

5) закончены все работы, входящие в узел, и начата хотя бы одна работа, выходящая из узла.

Вопрос 3. Наиболее раннее время наступления события равно:

1) минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2) максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3) максимальной длине пути из начального узла в данный;

4) максимальному времени наиболее раннего окончания работ, входящих в данный узел;

5) минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла.

Вопрос 4. Наиболее позднее время наступления события равно:

1) Минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2) максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3) максимальной длине пути из начального узла в данный;

4) максимальному времени наиболее раннего начала работ, выходящих из данного узла;

5) минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла.

Вопрос 5. Для того чтобы сократить время выполнения проекта, необходимо:

1) сократить время выполнения каждой работы на критическом пути;

2) сократить время выполнения одной работы на критическом пути;

3) сократить время выполнения каждой работы проекта;

4) сократить время выполнения одной работы проекта;

5) увеличить длину критического пути.

Вопрос 6. Полный резерв времени выполнения работы равен разности между:

1) наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала;

2) наиболее ранним временем ее начала и наиболее ранним временем ее окончания;

3) наиболее поздним временем ее начала и наиболее поздним временем ее окончания;

4) наиболее ранним временем ее окончания и наиболее поздним временем ее начала;

5) наиболее поздним временем ее окончания и наиболее ранним временем ее начала.

Задачи

Задача 1. Экономический факультет МГУ разрабатывает новую программу для повышения квалификации преподавателей, обучающих количественным методам анализа экономики. Желательно, чтобы эту программу можно было реализовать в наиболее сжатые сроки. Имеются существенные взаимосвязи между дисциплинами, которые необходимо отразить, составляя расписание занятий. Например, методы управления проектами PER Т/ СРМ должны рассматриваться лишь после того, как слушатели обсудят различные аспекты (коммерческие, финансовые, экономические, технические и др.) проектного анализа, связанные с жизненным циклом проекта.

Дисциплины и их взаимосвязь указаны в следующей таблице:

Найдите минимальное время, за которое можно выполнить программу.

Вопросы:

1. Какова длина критического пути?

2. Какое количество дисциплин находится на критическом пути?

3. Каков резерв времени изучения дисциплины f?

Задача 2. Консалтинговая компания «Системы управленческих решений» специализируется на разработке систем поддержки проектов. Компания заключила контракт на разработку компьютерной системы, предназначенной для помощи руководству фирмы при планировании капиталовложений.

Руководитель проекта разработал следующий перечень взаимосвязанных работ:

Окончание таблицы

Постройте графическое представление проекта. Используйте метод СРМдля нахождения критического пути.

Вопросы:

1. Какова длина критического пути?

2. Сколько работ находится на критическом пути?

3. Каков резерв выполнения работы F?

Задача 3. Рассмотрите следующий проект:

Найдите критический путь.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. Сколько работ находится на критическом пути?

3. На сколько недель можно отложить выполнение работы D без отсрочки завершения проекта в целом?

4. На сколько недель можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?

Задача 4. Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. Непосредственно предшествующие работы и продолжительность выполнения работ указаны в следующей таблице:

Найдите критический путь.

Вопросы:

1. Сколько времени потребуется для выполнения проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Чему равно наиболее раннее время начала работы С?

4. На сколько дней можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?

5. Чему равно наиболее позднее время окончания работы F?

6. На сколько дней можно отложить выполнение работы F без отсрочки завершения проекта?

Задача 5. Московский государственный университет рассматривает предложение о строительстве новой библиотеки. Работы, которые следует выполнить перед началом строительства, представлены ниже:

Найдите критический путь.

Вопросы:

1. Сколько работ находится на критическом пути? (Фиктивные работы не учитываются.)

2. Через какое минимальное время после принятия решения о реализации проекта можно начать работу по строительству библиотеки?

3. На сколько недель можно отложить выбор архитектурной мастерской?

4. Чему равно наиболее позднее время завершения работы по обеспечению финансирования?

Ситуации

Ситуация 1. Программа «Здоровье жителей пригородной зоны».

Программа «Здоровье жителей пригородной зоны» создана более года назад как коммерческая корпорация. Эта корпорация должна стать основой организации здравоохранения открытого типа НМО. Цель НМО — обеспечить абонентов из пригородной зоны услугами медицинской помощи по полной предоплате.

В соответствии с законом США от 1973 г. работы по планированию и организации НМО обеспечиваются федеральными грантами. Организационные работы включают три обязательных этапа: основание НМО (6 месяцев), планирование (12 месяцев) и начальное развитие (12 месяцев). Правительственные гранты выделяются на каждый этап и автоматически не продлеваются.

В соответствии с законом предусмотрено два типа НМО: закрытый и открытый. НМО закрытого типа организуется на базе медицинского центра, обеспечивающего амбулаторное обслуживание. Как правило, врачи работают в НМО закрытого типа на постоянной основе и получают зарплату.

НМО открытого типа не имеет своего медицинского центра. В этом случае НМО заключает контракт с Независимой ассоциацией врачей IPA. Медицинское обслуживание осуществляется как на производстве, так и в домашних условиях. Обычно работа по контракту с НМО открытого типа составляет лишь небольшую долю практики врачей из независимой ассоциации.

Для контроля издержек и выполнения налоговых обязательств новые НМО создают отдел маркетинга, который возглавляет директор по маркетингу. Задача этого отдела — привлечь новых абонентов, как индивидуальных, так и коллективных. Причем не только домохозяев и персонал фирм, работающих в сфере действия НМО, но и предпринимателей.

Сотрудник любой фирмы может воспользоваться либо услугами НМО, либо услугами альтернативной медицинской помощи, которую предоставляет наниматель. Поэтому для НМО важно заключить контракт с предпринимателем прежде, чем предлагать свои услуги персоналу фирмы.

Программа «Здоровье жителей пригородной зоны» ориентирована на создание НМО открытого типа и поэтому предполагает сотрудничество с IPA. Услуги, связанные с госпитализацией, предоставляются по контракту с окружным госпиталем.

В текущем году федеральный грант предоставлен программе для выполнения работ по планированию. Грант действует 12 месяцев. Этап начального развития, следующий за этапом планирования, также должен быть завершен за 12 месяцев. Таким образом, работа НМО может начаться после завершения обоих этапов, общая продолжительность которых составляет два года. В настоящее время руководство программы готовит заявку на фант для выполнения работ на этапе начального развития.

Джон Томас, исполнительный директор программы, разрабатывает перечень мероприятий, которые необходимо провести на этапе начального развития компании с тем, чтобы этот этап действительно мог быть завершен в 12-месячный срок. На предыдущем этапе планирования деятельность Джона Томаса была связана в основном с организацией и координацией работы врачей. Пришлось приложить значительные усилия для создания IPA. На этапе планирования он использовал сети СРМ для координации работ и собирается вновь применить их на заключительном, третьем этапе, который должен начаться через месяц.

Джон Томас убежден, что на этапе начального развития можно и нужно разрабатывать сети СРМ для анализа работ в области маркетинга и финансов. Однако, несмотря на то, что эти виды деятельности связаны друг с другом, он сомневается в том, что удастся провести их комплексный анализ. Поэтому он попросил директора по маркетингу Билла Харли и директора по финансам Джека Дункана независимо друг от друга разработать сети СРМ для контроля мероприятий в соответствующей сфере деятельности.

В следующей таблице описана сеть СРМ для мероприятий, выполненных IPA на этапе планирования:

Окончание таблицы

Определив критический путь для данной сети, Джон Томас пришел к выводу, что этап планирования действительно может быть завершен за год (52 недели). Он установил также, какие работы могут быть отложены и на сколько без увеличения срока выполнения данного этапа проекта.

Джон Томас попросил директоров по маркетингу и финансам определить все работы, которые должны быть выполнены на этапе начального развития, оценить время, необходимое для их выполнения, и установить взаимозависимость этих работ.

Маркетинг. Билл Харли, директор по маркетингу, решил составить список всех работ и затем представить их в виде сети. Первая из намеченных работ — работа А — нанять и обучить новый персонал, занимающийся маркетингом. На выполнение этой работы требуется 5 недель.

После завершения этой работы планируется провести одновременно четыре работы:

В — сформировать набор медицинского оборудования для предоставления медицинской помощи (3 недели);

С — организовать информирование местного населения и формирование общественного мнения (10 недель);

D — связаться с предпринимателями в сфере действия НМО (6 недель);

Е — разработать рекламный проспект для предпринимателей (3 недели).

Работа F — разработка планов ежемесячной регистрации абонентов (4 недели) — может быть начата после завершения работ В и D.

После того как будет разработан рекламный проспект для предпринимателей, его необходимо распространить. На эту работу G нужно 4 недели.

После того как будет распространен рекламный проспект и разработаны планы ежемесячной регистрации абонентов, могут одновременно выполняться две работы:

Н — провести переговоры о заключении контрактов с предпринимателями на обслуживание персонала фирм (8 недель);

I — подготовить рекламные материалы для персонала фирм (6 недель).

После выполнения работы H могут быть заключены контракты с предпринимателями (работа J, 6 недель). После выполнения работы I следует напечатать рекламные материалы для персонала фирм (работа К, 3 недели).

После того как заключены контракты с предпринимателями и напечатаны рекламные материалы для персонала фирм, можно начать работу L по привлечению индивидуальных абонентов. Эта работа может проводиться до конца второго этапа, но требует не менее 16 недель на выполнение.

Далее остается предусмотреть выполнение двух работ. Это организация симпозиума НМО (работа М, 16 недель) и его проведение (работа N, 2 недели). Организация симпозиума не может начаться, пока не будет завершена работа С.

Финансы. Джек Дункан, финансовый директор программы, составил следующий перечень из 12 работ, которые должны быть выполнены на этапе начального развития:

Вы приглашены в качестве помощника Джона Томаса, исполнительного директора, чтобы помочь рассчитать время выполнения комплекса работ по маркетингу и финансам на начальной стадии развития медицинского центра.

Задания

1. Нарисуйте сеть работ на этапе планирования. Определите критический путь и резерв времени для каждой работы. Верен ли вывод Джона Томаса о том, что этап планирования можно выполнить за год?

2. Нарисуйте сеть работ по маркетингу. Рассчитайте критический путь для этой сети. Могут ли работы по маркетингу быть выполнены в течение года?

3. Нарисуйте сеть работ по финансам. Рассчитайте критический путь для этой сети. Могут ли работы по финансам быть выполнены в течение года?

4. После координационного совещания Томаса, Харли и Дункана выяснилось, что работы по маркетингу и финансам взаимосвязаны: работа D финансового отдела может проводиться только после того, как завершена работа J отделом маркетинга. Определите критический путь для всех работ на этапе начального развития НМО. Верно ли утверждение, что весь комплекс работ может быть выполнен за год?

(Переработано из: Latona J.C; Nathan J. Cases and Readings in Production and Operations Management. — Boston: Allyn and Bacon, 1993)

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 2, 3—4, 4—5, 5—2, 6—1.

Задача 1. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:

Ответы:  1. 15 дней. 2. 3. 3. Шесть дней.

Задача 2. Решение.

Рис.5

На основании таблицы непосредственно предшествующих работ можно построить следующее графическое представление проекта (рис. 5).

На этом рисунке работа, выходящая из вершины 3 и входящая в вершину 5, является фиктивной. Ее продолжительность равна нулю.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию, описывающую работы в виде пары вершин:

Окончание таблицы

Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:

Ответы:   1. 23 недели. 2. 4. 3. Восемь недель.

Задача 3. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию в виде таблицы непосредственно предшествующих работ:

Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:

Ответы:     1. За 22 недели. 2. Четыре работы. 3. Работу D нельзя отложить без отсрочки завершения проекта в целом. 4. На две недели.

Задача 4. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:

Ответы:   1. 21 день. 2. 5. 3. Третий день. 4. На один день. 5. Восемнадцатый день. 6. Выполнение работы F откладывать нельзя.

Задача 5. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:

Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:

Ответы:   1. 5. 2. Через 49 недель. 3. На две недели. 4. Не позднее чем на 41-й неделе.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |