Имя материала: Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения

Автор: Афанасьев Михаил Юрьевич

Глава 8. сетевой анализ проектов. метод pert

Цели

В данной главе показаны возможности использования метода PERT (Program Evaluation and Review Technique — метод оценки и обзора программы) для контроля сроков выполнения проекта. Метод PERT ориентирован на анализ таких проектов, для которых продолжительность выполнения всех или некоторых работ не удается определить точно. Прежде всего речь идет о проектировании и внедрении новых систем. В таких проектах многие работы не имеют аналогов. В результате возникает неопределенность в сроках выполнения проекта в целом.

Применение метода PERТ позволяет получить ответы на следующие вопросы:

1. Чему равно ожидаемое время выполнения работы?

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за указанное время?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• оптимистическое и пессимистическое время выполнения работы;

• наиболее вероятное и ожидаемое время выполнения работы;

• вариацию времени выполнения работы, проекта.

Модели

Для того чтобы использовать метод PERT, для каждой работы i, время выполнения которой является случайной величиной, необходимо определить следующие три оценки:

аi — оптимистическое время (время выполнения работы i в наиболее благоприятных условиях);

тi — наиболее вероятное (нормальное) время (время выполнения работы i в нормальных условиях);

bi — пессимистическое время (время выполнения работы i в неблагоприятных условиях).

Учитывая, что время выполнения работы хорошо описывается бета-распределением, среднее, или ожидаемое, время ti выполнения работы i может быть оценено по формуле

ti = (ai + 4mi + bi)/6.

Если время выполнения работы i известно точно и равно di, то ti = ai = тi = bi = di .

Располагая указанными тремя оценками времени выполнения работы, можно рассчитать общепринятую статистическую меру неопределенности — дисперсию  или вариацию vari времени выполнения работы i:

.

Если время выполнения работы i известно точно, то  = vari = 0.

Пусть Т — время, необходимое для выполнения проекта. Если в проекте есть работы с неопределенным временем выполнения, то время T является случайной величиной.

Математическое ожидание (ожидаемое значение) времени выполнения проекта Е(T) равно сумме ожидаемых значений времени выполнения работ, лежащих на критическом пути.

Для определения критического пути проекта может быть использован метод СРМ. На этом этапе анализа проекта время выполнения работы полагается равным ожидаемому времени ti.

Вариация (дисперсия) s2(T) общего времени, требуемого для завершения проекта, в предположении о независимости времени выполнения работ равна сумме вариаций (дисперсий) времени выполнения работ критического пути. Если же две или более работы взаимозависимы, то указанная сумма дает приближенное представление о вариации времени завершения проекта.

Распределение времени T завершения проекта является асимптотически нормальным со средним Е(T) и дисперсией s2(Т). С учетом этого можно рассчитать вероятность завершения проекта в установленный срок T0. Для определения вероятности того, что Т £ Т0, следует использовать таблицу распределения величины z = [T0 – Е(Т)]/s(Т), которая имеет стандартное нормальное распределение.

Примеры

Пример 1. Новый продукт Московского часового завода. Конструкторское бюро Московского часового завода (МЧЗ) разработало новый настольный радиобудильник. По мнению проектировщиков, запуск в серию нового продукта позволит расширить рынок сбыта и получить дополнительную прибыль.

Руководство МЧЗ решило изучить возможности реализации нового продукта. Результатом исследования должны стать рекомендации относительно действий, которые следует предпринять для организации производства и сбыта нового продукта. Перечень работ и характеристики времени их выполнения (в неделях) указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Чему равен критический путь для данного проекта?

2. Чему равно ожидаемое время выполнения проекта?

3. С какой вероятностью проект может быть выполнен за 20 недель?

Решение. На рис. 1 показано графическое представление этого проекта.

Рис. 1

1-й способ решения. Используя информацию, указанную в условии, определяем ожидаемое время и вариацию времени выполнения каждой работы проекта. Например, для работы А:

Проводя аналогичные расчеты для других работ, получаем следующую таблицу:

Полагая время выполнения работы равным ожидаемому времени ее выполнения ti, находим критический путь. Используем для этого метод СРМ в виде следующей таблицы с указанием предшествующих работ:

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Критический путь для данного проекта включает работы А, Е, Н, I, J. Длина критического пути равна 6+3+4+2+2=17. Это означает, что ожидаемое время выполнения проекта составляет 17 недель.

Предполагая, что распределение времени выполнения проекта является нормальным, можно определить вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель.

Определим дисперсию времени выполнения проекта. Ее значение равно сумме значений дисперсий времени выполнения работ на критическом пути:

s2(T) = 1,78 + 0,11 + 0,69 + 0,03 + 0,11 = 2,72.

Учитывая, что  находим значение z для нормального распределения при T0 = 20:

Используя таблицу нормального распределения (Приложение 1), находим вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале Е(T) £ T £ Т0. На пересечении строки «1,8» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4656. Следовательно, искомая вероятность того, что время Т выполнения проекта удовлетворяет условию Т £ 20, т.е. вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.

2-й способ решения. Исходные данные представлены в следующей таблице (оценки времени выполнения работ указаны в неделях):

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Последний столбец таблицы содержит значения стандартных ошибок времени выполнения проекта в целом (первое значение s(Т) = 1,65) и всех его работ в частности.

Так же, как в первом способе, находим значение z для нормального распределения при Т0 = 20:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), находим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале Е(T) £ Т £ Т0. На пересечении строки «1,8» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4656. Следовательно, искомая вероятность того, что проект будет выполнен за 20 недель при ожидаемом времени его выполнения 17 недель, равна 0,5 + 0,4656 = 0,9656.

Ответы:

1. Критический путь составляют работы А, Е, Н, I, J.

2.17 недель.       3. 0,9656.

Вопросы

Вопрос 1. Метод РЕRТ разработан для:

1) описания проектов путем указания всех работ, предшествующих данной работе;

2) описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

3) минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

4) нахождения критического пути при анализе проектов с заданным временем выполнения каждой работы;

5) нахождения критического пути при анализе проектов с неопределенным временем выполнения работ.

Вопрос 2. В сетевом графике с неопределенным временем выполнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 12, оптимистическое — 6, ожидаемое — 10.

Чему равно наиболее вероятное время выполнения работы А7

Варианты ответов:

1) 6;       2) 10;       3) 10,5;    4) 12;      5) 12,5.

Вопрос 3. В сетевом графике с неопределенным временем выполнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 8, оптимистическое — 2. Величина запаса времени (полный резерв времени) работы А оказалась равной 3. Наиболее раннее время ее начала 2, а наиболее позднее время окончания 8.

Чему равно наиболее вероятное время выполнения работы А?

Варианты ответов:

1) 2;      2) 4;     3) 5;      4) 6;     5) 8.

Вопрос 4. В сетевом графике с неопределенным временем выполнения работ пессимистическое время выполнения работы А равно 16, оптимистическое — 4.

Чему равна дисперсия (вариация) времени выполнения работы А?

Варианты ответов:

1) 1;      2) 2;      3) 4;      4) 12;     5) 16.

Вопрос 5. Ожидаемое время выполнения проекта равно 14 неделям. Дисперсия времени выполнения проекта равна 4. Проектировщиков интересует вероятность, с которой проект может быть завершен за 16 недель.

Определите соответствующее пороговое значение случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение.

Варианты ответов:

1) 0,5;    2) 1;        3) 2;      4) 4;      5) 16.

Задачи

Задача 1. Ниже даны оценки продолжительности выполнения работ (в днях) применительно к небольшому проекту:

Рассчитайте ожидаемое время выполнения и дисперсию для каждой работы.

Известно, что критический путь составляют работы В, D, F.

Вопросы:

1. Чему равно ожидаемое время выполнения работы В 7

2. Чему равна дисперсия времени выполнения работы D?

3. Каково ожидаемое время выполнения проекта?

4. Чему равна дисперсия времени выполнения проекта?

Задача 2. Проект строительства плавательного бассейна состоит из девяти основных работ. Работы, их непосредственные предшественники и оценки времени выполнения работ (в днях) приведены ниже:

Постройте сеть PERT/СРМ для этого проекта.

Вопросы:

1. Каков ожидаемый срок завершения проекта?

2. Чему равна стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта?

3. Какова вероятность того, что проект будет выполнен за 24 дня?

Задача 3. Рассмотрите следующий проект (оценки времени выполнения работ указаны в неделях):

Вопросы:

1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2. Чему равна вероятность того, что проект будет завершен за 21 неделю?

3. Чему равна вероятность того, что проект будет завершен за 25 недель?

Задача 4. Деканат экономического факультета МГУ предполагает провести летние курсы переподготовки преподавателей экономической теории в каком-либо из загородных домов отдыха. Для подготовки курсов необходимо выполнить следующие работы (оценки времени указаны в неделях):

Вопросы:

1. Каково ожидаемое время завершения проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Если деканат хочет добиться того, чтобы к заезду преподавателей все подготовительные мероприятия были выполнены с вероятностью 0,975, то в какие сроки следует ожидать их завершения?

Задача 5. Менеджер плавательного бассейна МГУ разрабатывает план подготовки к первой тренировке команды пловцов. Тренировку предполагается провести 1 сентября. Данные о подготовительных мероприятиях приведены в следующей таблице (оценки времени указаны в днях):

Вопросы:

1. Какова ожидаемая продолжительность проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Если менеджер планирует начать проект 11 августа, то какова вероятность того, что программа тренировки пловцов будет завершена к 1 сентября за 16 рабочих дней?

Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—5, 2—3, 3 — 1, 4—3, 5—2.

Задача 1. Решение.

Пользуясь формулами для ожидаемого времени   и дисперсии  определяем соответствующие значения для каждой работы. Получаем следующую таблицу:

Учитывая, что критический путь составляют работы В, D, F, получаем, что ожидаемое время выполнения проекта равно 9 + 8,83 + 6 = 23,83 дня. Дисперсия времени выполнения проекта равна 0,11 + 0,25 +0,11 = 0,47.

Ответы:   1. Девять дней.      2.0,25. 3. 23,83 дня.         4. 0,47.

Задача 2. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ:

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 25,33 дня. Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 1,18.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 24 дня, находим значение z для нормального распределения при T0 = 24:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), находим вероятность того, что время Т выполнения проекта находится в интервале T0 £ Т £ Е(Т). На пересечении строки «1,1» и столбца «0.02» таблицы нормального распределения находим значение 0,3686.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0 £ T £ Т0 и проект будет выполнен за 24 дня при ожидаемом времени его выполнения 25,33 дня, равна 0,5 - 0,3686 = 0,1314.

Ответы:   1. 25,33 дня. 2. 1,18. 3. 0,1314.

Задача 3. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ (в неделях):

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 22 неделям. Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 1,56.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 21 неделю, находим значение z для нормального распределения при T0 = 21 :

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), находим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале T0 £ Т £ Е(Т). На пересечении строки «0,6» и столбца «0,04» таблицы нормального распределения находим значение 0,2389.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0 £ Т £ Т0 и проект будет выполнен за 21 неделю при ожидаемом времени его выполнения 22 недели, равна 0,5-0,2389=0,2611.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 25 недель, находим значение z для нормального распределения при Т0 = 25:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), находим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале Е(Т) £ Т £ T0. На пересечении строки «1,9» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4726.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0 £ Т £ Т0 и проект будет выполнен за 25 недель при ожидаемом времени его выполнения 22 недели, равна 0,5 + 0,4726 = 0,9726.

Ответы:   1.22 недели.        2.0,2611. 3. 0,9726.

Задача 4. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ (в неделях):

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 15 неделям. На критическом пути пять работ: А, В, G, Н, I.

Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 1,03.

Время выполнения проекта T0 должно быть таким, при котором вероятность его своевременного завершения равна 0,975. Вероятность нахождения времени Т выполнения проекта в интервале Е(Т) £ Т £ T0 равна 0,475 (т.е. 0,975 – 0,5). Отсюда, используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), получаем z = 1,96. Для нормального распределения z = (Т0 – 15)/1,03. Следовательно, Т0 = 17,02.

Ответы:   1. 15 недель. 2. Пять работ. 3. За 17,02 недели.

Задача 5. Решение.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу информацию о предшествующих работах и оценки времени выполнения работ:

Проводя расчеты, получаем следующие результаты:

Следовательно, ожидаемое время выполнения проекта равно 14,33 дня. Стандартная ошибка (корень квадратный из дисперсии) времени завершения проекта равна 0,97.

Для того чтобы определить вероятность выполнения проекта за 16 дней, находим значение г для нормального распределения при T0 = 16:

Используя таблицу нормального распределения (см. Приложение 1), находим вероятность того, что время T выполнения проекта находится в интервале 14,33 £ Т £ 16. На пересечении строки «1,7» и столбца «0,02» таблицы нормального распределения находим значение 0,4573.

Следовательно, искомая вероятность того, что 0 £ Т £16 и проект будет выполнен за 16 дней при ожидаемом времени его выполнения 14,33 дня равна 0,5 + 0,4573 = 0,9573.

Ответы:   1.14,33 дня.        2. Шесть работ. 3. 0,9573.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |