Имя материала: Макроэкономика Автор: Елена Алексеевна Туманова 11.1. задача потребительского выбораРассматривается задача оптимизации деятельности репрезентативного домашнего хозяйства. При принятии решений оно учитывает благосостояние и ресурсы своих настоящих и будущих членов, т. е. считается, что каждая семья живет бесконечно долго и между ее поколениями существуют альтруистические связи. Таким образом, можно условно считать, что ее решения аналогичны решениям бесконечно живущего индивида. Задача оптимизации потребительского поведения репрезентативного домашнего хозяйства с L работающими членами аналогична задаче оптимизации совокупного потребления в экономике с численностью населения L. Пусть население растет с постоянным темпом п и численность населения в нулевой момент времени равна 1, т. е. L, = е"'. Функция полезности индивида (домашнего хозяйства, представляющего все население) имеет вид:
U = u(c,)e-?ldt, (11.1) о где с, — потребление на душу населения в момент времени /; р (р > 0) — коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида. Таким образом, функция полезности представляет собой взвешенную сумму всех будущих значений полезности, причем веса определяются с помощью индивидуальных коэффициентов дисконтирования. Функция полезности является сепарабельной, т. е. полезность в каждый момент времени зависит только от потребления в этот момент. и'(с)>0; и"(с)<0 и выполняются условия Инада: \т и'(с) = °°; limw'(c) = 0. с->0 с->~ Коэффициент дисконтирования для индивида и всего поколения один и тот же. Рассматривается закрытая экономика с реальными переменными, т. е. все переменные измерены в единицах товаров и услуг. Экономика работает в условиях совершенной конкуренции. Доходы индивида складываются из заработной платы и доходов, полученных за принадлежащие ему активы. Свои доходы он тратит на потребление и сбережения в форме накопления дополнительных активов. Активы — это капитал либо заемные средства. Заемные средства могут быть и отрицательными, в этом случае их величина представляет собой долг. Домашнее хозяйство может как давать в долг, так и занимать средства у других домашних хозяйств, но, в конце концов, долги должны быть возвращены. Капитал и заемные средства являются совершенными заменителями, поэтому в каждый момент времени t приносят одинаковый доход в виде реального процента г,. Пусть в момент t чистые реальные активы (капитал и заемные средства за вычетом возврата долга), приходящиеся на каждого индивида, — а,, реальная ставка заработной платы — w,, тогда его доходы составят (w, + г, at). Вследствие роста населения активы в каждый момент времени уменьшаются на величину па,, поэтому бюджетное ограничение индивида имеет вид: a = w + ra-c-na. (11.2) Рынок заемных средств накладывает ограничение на займы — нельзя бесконечно выплачивать взятые кредиты за счет новых долгов (условие отсутствия игры Понци). Так как чистый долг в расчете на члена семьи растет с темпом г — п, то это ограничение имеет вид:
-J[r(v)-« dv \та,е 0 >0. (11.3) Таким образом, задача оптимизации поведения потребителя сводится к максимизации функции (11.1) при ограничениях (11.2) и (11.3). Эту задачу динамической оптимизации можно решить с помощью принципа максимума Понтрягина. Для этого строится функция Гамильтона Н = u(c)e~pl + X(w + ra-c-na). Необходимые условия для ее максимизации имеют вид ^ = и'{с)е-Р' - К, откуда и'(ф-Р' = Я.; (11.4) ас
— = (г-п)Х = -, откуда І = -(г-п)Х. (11.5) да Условие трансверсальности: limVr =°- (11-6) Здесь X представляет собой приведенную теневую цену активов. Дифференциальное уравнение (11.5) — это уравнение Эйлера, описывающее необходимое условие, которому должна удовлетворять каждая оптимальная траектория. На основании этого уравнения сформулировано правило Кейнса—Рамсея. Оно было выведено Рамсеем и проинтерпретировано Кейнсом. Смысл этого правила можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем логарифм от обеих частей (11.4) и продифференцируем полученное уравнение по времени. 1пА = 1п«'(с)-рґ; ^ = І^с-р. (11.7) А и (с) X Из (11.5) —-п-г, откуда с учетом (11.7) получаем X и'{с)
Поскольку выражение в квадратных скобках в правой части (11.8) отрицательно, динамика потребления во времени І - I зави- не, сит от соотношения дохода на капитал г за вычетом темпа роста населения п и коэффициента межвременного предпочтения р. Потребление будет расти во времени ^— >oj, если доход на капитал в расчете на каждого члена семьи выше нормы дисконтирования, падать в противном случае и оставаться постоянным, если эти коэффициенты совпадают. Другими словами, домашние хозяйства готовы отказаться от части сегодняшнего потребления ради увеличения его в будущем, если этот отказ будет компенсирован доходом, превышающим норму межвременного предпочтения. Размер этой компенсации определяется выражением, стоящим в квадратных скобках (11.8). Оно представляет собой эластичность предельной полезности по потреблению. Это выражение показывает, насколько (г — п) должно превышать р для каж-с дой величины —. Чем выше эластичность, тем больше должен с быть разрыв между (г — п) и р для заданной величины -. Элас- с тичность предельной полезности по потреблению является величиной, обратной к эластичности межвременного замещения. Для того чтобы существовало стационарное состояние (г — const, - — const), эта эластичность должна асимптотически стремиться с к постоянной величине. Поэтому в качестве функции полезности с0-е) _, обычно используют функцию и(с) =—j—-— с постоянной эластичностью замещения, равной 1/0. При подстановке этого выражения в (11.8) получаем £ = 1(г-й-р). (11.8') с 6 Условие трансверсальности (11.6) означает, что стоимость активов домашних хозяйств, представляющая собой произведение их теневой цены X на количество а, должна со временем стремиться к 0. Если бы речь шла о конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены. При бесконечном временном горизонте это условие выполняется в предельном смысле. Если решить дифференциальное уравнение (11.5), то можно получить траекторию изменения теневой цены во времени:
-j[r(v)-n lv X, = Х0е 0
Из (11.4) следует, что Х0 = н'(с0)>0, т. е. Х0 — положительная константа. Таким образом, если подставить полученное решение в условие трансверсальности, то оно примет вид
-j[r(v)-ndv imate 0 =0. (П.6')
Отсюда следует, что активы не могут расти с темпом г—п и выше, такое решение будет неоптимальным, поскольку полезность в случае увеличения потребления за счет отказа от части накоплений будет возрастать. В случае постоянных займов (а,< 0) желание расплачиваться за долги путем новых заимствований, т. е. желание накапливать долг с темпом г — п и выше, сдерживается отсутствием кредиторов, готовых накапливать активы с темпом г—п и выше. Отсюда становится понятной необходимость введения в задачу потребительского выбора условия отсутствия игры Понци (см. условие (11.3)). |
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | |