Имя материала: Макроэкономика

Автор: Елена Алексеевна Туманова

11.1. задача потребительского выбора

Рассматривается задача оптимизации деятельности репрезентативного домашнего хозяйства. При принятии решений оно учитывает благосостояние и ресурсы своих настоящих и будущих членов, т. е. считается, что каждая семья живет бесконечно долго и между ее поколениями существуют альтруистические связи. Таким образом, можно условно считать, что ее решения аналогичны решениям бесконечно живущего индивида. Задача оптимизации потребительского поведения репрезентативного домашнего хозяйства с L работающими членами аналогична задаче оптимизации совокупного потребления в экономике с численностью населения L. Пусть население растет с постоянным темпом п и численность населения в нулевой момент времени равна 1, т. е. L, = е"'. Функция полезности индивида (домашнего хозяйства, представляющего все население) имеет вид:

U = u(c,)e-?ldt, (11.1) о

где       с, — потребление на душу населения в момент времени /;

р (р > 0) — коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.

Таким образом, функция полезности представляет собой взвешенную сумму всех будущих значений полезности, причем веса определяются с помощью индивидуальных коэффициентов дисконтирования. Функция полезности является сепарабельной, т. е. полезность в каждый момент времени зависит только от потребления в этот момент.

и'(с)>0;   и"(с)<0 и выполняются условия Инада:

\т и'(с) = °°;   limw'(c) = 0. с->0 с->~

Коэффициент дисконтирования для индивида и всего поколения один и тот же. Рассматривается закрытая экономика с реальными переменными, т. е. все переменные измерены в единицах товаров и услуг. Экономика работает в условиях совершенной конкуренции.

Доходы индивида складываются из заработной платы и доходов, полученных за принадлежащие ему активы. Свои доходы он тратит на потребление и сбережения в форме накопления дополнительных активов. Активы — это капитал либо заемные средства. Заемные средства могут быть и отрицательными, в этом случае их величина представляет собой долг. Домашнее хозяйство может как давать в долг, так и занимать средства у других домашних хозяйств, но, в конце концов, долги должны быть возвращены. Капитал и заемные средства являются совершенными заменителями, поэтому в каждый момент времени t приносят одинаковый доход в виде реального процента г,.

Пусть в момент t чистые реальные активы (капитал и заемные средства за вычетом возврата долга), приходящиеся на каждого индивида, — а,, реальная ставка заработной платы — w,, тогда его доходы составят (w, + г, at). Вследствие роста населения активы в каждый момент времени уменьшаются на величину па,, поэтому бюджетное ограничение индивида имеет вид:

a = w + ra-c-na. (11.2)

Рынок заемных средств накладывает ограничение на займы — нельзя бесконечно выплачивать взятые кредиты за счет новых долгов (условие отсутствия игры Понци). Так как чистый долг в расчете на члена семьи растет с темпом г — п, то это ограничение имеет вид:

-J[r(v)-« dv

\та,е 0 >0. (11.3)

Таким образом, задача оптимизации поведения потребителя сводится к максимизации функции (11.1) при ограничениях (11.2) и (11.3). Эту задачу динамической оптимизации можно решить с помощью принципа максимума Понтрягина.

Для этого строится функция Гамильтона

Н = u(c)e~pl + X(w + ra-c-na). Необходимые условия для ее максимизации имеют вид

^ = и'{с)е-Р' - К, откуда и'(ф-Р' = Я.; (11.4) ас

— = (г-п)Х = -, откуда І = -(г-п)Х. (11.5) да

Условие трансверсальности:

limVr =°- (11-6)

Здесь X представляет собой приведенную теневую цену активов.

Дифференциальное уравнение (11.5) — это уравнение Эйлера, описывающее необходимое условие, которому должна удовлетворять каждая оптимальная траектория. На основании этого уравнения сформулировано правило Кейнса—Рамсея. Оно было выведено

Рамсеем и проинтерпретировано Кейнсом. Смысл этого правила можно проиллюстрировать следующим образом.

Возьмем логарифм от обеих частей (11.4) и продифференцируем полученное уравнение по времени.

1пА = 1п«'(с)-рґ;     ^ = І^с-р. (11.7) А    и (с)

X

Из (11.5) —-п-г, откуда с учетом (11.7) получаем X

и'{с)

г — п = р

Поскольку выражение в квадратных скобках в правой части

(11.8) отрицательно, динамика потребления во времени І - I зави-

не,

сит от соотношения дохода на капитал г за вычетом темпа роста населения п и коэффициента межвременного предпочтения р. Потребление будет расти во времени ^— >oj, если доход

на капитал в расчете на каждого члена семьи выше нормы дисконтирования, падать в противном случае и оставаться постоянным, если эти коэффициенты совпадают. Другими словами, домашние хозяйства готовы отказаться от части сегодняшнего потребления ради увеличения его в будущем, если этот отказ будет компенсирован доходом, превышающим норму межвременного предпочтения. Размер этой компенсации определяется выражением, стоящим в квадратных скобках (11.8). Оно представляет собой эластичность предельной полезности по потреблению. Это выражение показывает, насколько (г — п) должно превышать р для каж-с

дой величины —. Чем выше эластичность, тем больше должен с

быть разрыв между (г — п) и р для заданной величины -. Элас-

с

тичность предельной полезности по потреблению является величиной, обратной к эластичности межвременного замещения. Для того чтобы существовало стационарное состояние (г — const,

- — const), эта эластичность должна асимптотически стремиться с

к постоянной величине. Поэтому в качестве функции полезности с0-е) _,

обычно используют функцию и(с) =—j—-— с постоянной эластичностью замещения, равной 1/0. При подстановке этого выражения в (11.8) получаем

£ = 1(г-й-р). (11.8') с 6

Условие трансверсальности (11.6) означает, что стоимость активов домашних хозяйств, представляющая собой произведение их теневой цены X на количество а, должна со временем стремиться к 0. Если бы речь шла о конечном временном горизонте, то это означало бы, что к концу все накопления должны быть истрачены. При бесконечном временном горизонте это условие выполняется в предельном смысле.

Если решить дифференциальное уравнение (11.5), то можно получить траекторию изменения теневой цены во времени:

-j[r(v)-n lv

X, = Х0е 0

Из (11.4) следует, что Х0 = н'(с0)>0, т. е. Х0 — положительная константа. Таким образом, если подставить полученное решение в условие трансверсальности, то оно примет вид

-j[r(v)-ndv

imate 0           =0. (П.6')

Отсюда следует, что активы не могут расти с темпом г—п и выше, такое решение будет неоптимальным, поскольку полезность в случае увеличения потребления за счет отказа от части накоплений будет возрастать. В случае постоянных займов (а,< 0) желание расплачиваться за долги путем новых заимствований, т. е. желание накапливать долг с темпом г — п и выше, сдерживается отсутствием кредиторов, готовых накапливать активы с темпом г—п и выше. Отсюда становится понятной необходимость введения в задачу потребительского выбора условия отсутствия игры Понци (см. условие (11.3)).