Имя материала: Макроэкономика

Автор: Елена Алексеевна Туманова

12.4. исследование динамики. случай производственной функции кобба-дугласа и логарифмической функции полезности

Проанализируем динамику экономики, в которой функция полезности индивидов носит логарифмический характер, т. е. 9 = 1. Тогда функция полезности имеет вид

 

а выпуск описывается производственной функцией Кобба—Дугласа

Y = Ka(LE)   . Тогда норма сбережения s, =           , ставка зара-

2 + р

ботной платы w, ~(1-а)к" и уравнение (12.14) принимает вид:

            w  1 w r(l-a)yt,a. (12.19)

,+|   {l + n)(l + g){2 + Py >'

Равновесие достигается при kl+] =kt=k , поэтому устойчивый уровень капиталовооруженности в этом случае составляет

 

к =

f           1-а Л

(l + «)(l + g)(2 + P)

і

1-а

 

(12.20)

Ha рис. 12.3 представлена соответствующая фазовая диаграмма. На ней отражены два равновесных состояния — нулевое и точка А. Если начальный уровень капиталовооруженности ниже равновесного ^<A*j, то уровень капиталовооруженности в следующем периоде кх >/cq. Так как к1+] — возрастающая функция от к,, то Ісх - ф(а?о) < ф(£*| = к*, поэтому к{<к*. Аналогично, уровень капиталовооруженности к, соответствующий kv выше кх, но

ниже к* и т. д. Такие же рассуждения можно провести и в случае превышения первоначальным уровнем капиталовооруженности к*.

Таким образом, к* — устойчивое равновесие, а 0 — неустойчивое. Очевидно, что в устойчивом состоянии темпы роста экономических показателей такие же, как в модели Солоу.

Этот вариант предполагает условную конвергенцию, поскольку устойчивое равновесие является единственным, к нему приходит экономика при любом первоначальном положительном уровне кап италовооружен ности.

 

12.4.1. Скорость конвергенции

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью у* составляет:

а

К1+ ~к

В этом случае можно оценить скорость конвергенции к устойчивому состоянию. Для этого воспользуемся линейной аппроксимацией зависимости к1+1 от к, с помощью разложения в ряд Тейлора:

дк,

 

(к,-к*).

к,=к*

Подпись: (к,-к*),Обозначим Х =

 

(+1

дк

дк,

 

 

к, =к

тогда к,+{ -к* -Х

откуда

путем рекуррентных подстановок получим       -к* = X' ^к

Таким образом, скорость конвергенции зависит от параметра X. В нашем конкретном случае для оценки X воспользуемся уравнениями (12.19) и (12.20).

Подпись: a

a-l 1-а

= а.

1-а

(l + /i)(l + g)(2 + p)

(l + «)(l + g)(2 + p) 1-а

"(l + «)(l + g)(2 + p)a

Полученная оценка показывает, что параметр, характеризующий скорость конвергенции, в нашем конкретном примере совпадает с долей дохода на капитал в общем доходе. Следует помнить, что один период в данной модели по временной протяженности совпадает с половиной периода жизни одного поколения, т. е. можно условно считать, что он составляет примерно 30 лет. Поэтому полученная оценка скорости конвергенции не является такой большой, как это кажется на первый взгляд.

12.4.2. Динамическая неэффективность в модели пересекающихся поколений

Как показано ранее, в модели Солоу существует возможность динамической неэффективности, т. е. возможность избыточного накопления капитала по сравнению с уровнем Золотого правила. Этот результат является следствием экзогенного задания нормы сбережения. В модели Рамсея динамическая неэффективность отсутствует, поскольку выбор нормы сбережения есть результат оптимального решения экономических агентов, совпадающий с оптимальным решением при централизованном управлении. Проанализируем возможность динамической неэффективности в модели пересекающихся поколений. Воспользуемся частным случаем, разобранным в предыдущем пункте.

Устойчивый уровень капиталовооруженности задается уравнением (12.20). С его помощью определим предельную производительность капитала в устойчивом состоянии /'(^) = a(r)a"'=T^-(l + «)(l + g)(2 + p).

Потребление с, в периоде t равно сумме потребления молодого и старого поколений, проживающих в этом периоде: с, = cuLt+ clt_KLt_K. Потребление в расчете на единицу населения составит

с,     _     с,      _ + п с,

li+li-    L,+-^-   2 + п Lt '   1 + я

Таким образом, задача максимизации потребления на душу населения эквивалентна задаче максимизации потребления на одного работающего.

Условие максимизации потребления состоит в том, что

/'^**j = n + g + 8. Если /'^*j<то к* >к**, т.е. капиталовооруженность в устойчивом состоянии будет выше уровня Золотого правила. Это означает, что потребление в устойчивом состоянии окажется ниже уровня Золотого правила. Для данного конкретного случая это возможно, если

 

-SL-(l + n)(l + g)(2 + p)<{n + g + d). (12.21)

 

Условие (12.21) может оказаться выполненным, если темпы роста населения, научно-технологического прогресса, межвременная норма предпочтения, доля дохода на капитал в общем доходе невысоки, а норма выбытия достаточно велика.

В таком случае при централизованном управлении можно было бы в какой-то момент времени t0 перераспределить ресурсы от сбережений в пользу потребления, для чего снизить капиталовооруженность до уровня к**. После этого потребление на одного работника с постоянной эффективностью труда составило бы

f[ic*^ + [k* -£**|-(я + g + S)ic**. В последующие периоды доступный

уровень потребления будет f[ic**^-(n + g + d)k**. Он превышает потребление устойчивого уровня.

Так как к* > к**, то f[k*^ + ic* > f{k**^ +к**.

Следовательно, f(k*) + (k* -к**)-{п + g + 5)k** будет больше,

чем f{k**^J-(n + g + 5)k**, т.е. выше уровня Золотого правила.

Таким образом, в момент tQ потребление выросло бы выше уровня Золотого правила и затем, приближаясь к уровню Золотого правила, оставалось бы выше устойчивого уровня. Это означает, что экономика является динамически неэффективной, а рыночное равновесие не является оптимальным по Парето.

Вывод представляется неожиданным, поскольку устойчивое равновесие — результат оптимального решения экономических агентов. Возможность неоптимальности по Парето получается из-за того, что в модели принимают решение индивиды, живущие конечный отрезок времени, тогда как время жизни экономики в целом не ограничено. Если индивиды в рыночной экономике хотят потреблять в старости, они должны сберегать в молодости, даже если ставки процента малы. Управляющий орган в централизованной экономике может перераспределять при таких обстоятельствах ресурсы от молодых пожилым. Чтобы не ухудшить при этом положение молодых, он может снова перераспределять ресурсы в их пользу в следующем периоде, когда они станут старыми, и т. д. Если устойчивый уровень капиталовооруженности остается выше уровня Золотого правила, такой способ перераспределения ресурсов оказывается эффективнее накопления.

Эмпирические исследования возможности динамической неэффективности в экономике развитых стран показали, что, хотя теоретически это возможно, на практике пока подобное явление нигде не наблюдалось (см. [2]).

12.4.3. Влияние бюджетно-налоговой политики

Рассмотрим влияние бюджетной налоговой политики государства на равновесие. Будем считать, что правительство проводит политику сбалансированного бюджета, функция полезности носит логарифмический характер, выпуск описывается производственной функцией Кобба—Дугласа.

Пусть G, — величина государственных закупок товаров и услуг в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью, государственные расходы целиком финансируются за счет налогов. Тогда располагаемый доход молодых в расчете на единицу

эффективного труда равен w, (12.19) принимает вид -G, - (1 -ос)£,а -G,, а уравнение

 

Подпись:  (l + #i)(l+*)(2 + p)

[(І-а)^-С,].

(12.22)

к,

Предположим, экономика находилась в состоянии равновесия с неизменным уровнем государственных расходов, и правительство решило увеличить государственные закупки. Проанализируем влияние этого решения на равновесие с помощью рис. 12.4. Пусть первоначальное равновесие — это точка А. Увеличение государственных расходов, как видно из формулы (12.21), приводит к сдвигу вниз траектории изменения капиталовооруженности.

Новое равновесие установится в точке В с более низким

уровнем капиталовооруженности к*в и, соответственно, более высокой предельной производительностью капитала и реальной ставкой процента. Поскольку капиталовооруженность падает, то выпуск также уменьшается, а так как норма сбережения в этом случае постоянна, то потребление в расчете на одного работника с постоянной эффективностью труда также снизится. Так как индивиды живут в течение двух периодов, а налоги накладываются на их доход только в молодости, то для сглаживания потребления они снизят в первом периоде потребление на величину, меньшую объема налогов, т. е. уменьшат как потребление, так и сбережения.

Таким образом, в рассматриваемой модели увеличение государственных закупок приведет к вытеснению как потребления, так и инвестиций. Этот результат отличается от полученного в модели Рамсея, где потребление снижается на величину увеличения государственных закупок.

Поскольку старое поколение не платит налоги, то финансирование увеличения государственных закупок за счет долга не означает для молодого поколения необходимости в будущем выплачивать этот долг, поэтому равенство Барро—Рикардо не будет наблюдаться.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 |