Имя материала: Макроэкономика

Автор: Елена Алексеевна Туманова

12.5. альтруистические связи между поколениями

Рассмотрим, как изменятся выводы модели, если допустить существование альтруистических связей между поколениями. В этом случае пожилые не обязательно тратят до конца во втором периоде свои сбережения, а допускается возможность трансферта их части последующим поколениям, например, в виде наследства. Таким образом, горизонт модели пересекающихся поколений расширяется и становится бесконечным в том смысле, что индивиды при принятии решений принимают в расчет интересы последующих поколений.

Одним из способов введения альтруистических связей в модель является введение в функцию полезности учета будущей полезности своих потомков (см., например: [6]). Пусть функция полезности имеет вид

1-е _ ■ ,           1-0 _ ■ ,

U,=^    !■ + -!-■f*±l—!■ +     1 + я     // (12.23)

'     1-е     1+р    1-е     (1+р)(1 + у) 1+1

Последнее слагаемое в правой части (12.23) учитывает полезность каждого прямого потомка U/+l. Она, в свою очередь, зависит от потребления в молодости и в старости и от полезности следующего поколения Ul+2 и т.д. Суммарная полезность прямых потомков (1 + n)Ul+l дисконтируется, во-первых, в соответствии с нормой межвременного предпочтения р, поскольку речь идет о следующем периоде времени, и, во-вторых, с коэффициентом у, отражающим предпочтения населения по поводу заботы о потомках.

Если подставить в (12.23) вместо Ul+] его выражение через и,+2 и т.д., то получим функцию полезности в виде

 

i = 0

1 +п

(i+p)(i + y)

cl,+i     1          1 c2l++i

i-e    1+р 1-е

(12.24)

 

Предполагается, что (1 + п) < (1 + р)(1 + у).

Пусть каждый представитель молодого поколения в /-м периоде получает от предыдущего поколения наследство в объеме Ь„ а затем, становясь старым, оставляет после своей смерти наследство в объеме bl+l. Тогда бюджетные ограничения принимают вид:

с„ +s, = w, +Ь, (12.25)

 

cll+]+( + n)bl+i=( + rM)st. (12.26)

Предполагается, что трансферты осуществляются только от родителей к детям, т.е. для любого / bt+i>0 (эта предпосылка ослабляется в [19] и [31]).

Выразим на основании (12.25) и (12.26)

cil+l:= wl+l,+bt+i:~sl+i;   / = 0,1,2,... (12.27)

 

С2/+1+/ = 0 + '}+і+/)*/+,--(і + я)*/+і+і;   '=0, 1. 2, ... (12.28)

Подставим (12.27) и (12.28) в (12.24) и выпишем необходимые условия максимизации относительно s, и bt+l. Получим:

дії,     і      , ч-е ^L = -(Wl+bl+l-Sl) +

+ТТ;[(1 + /,'+і)5'-(1 + л)*'+і]"в(1 + /,^)в0: (12-29)

 

^ = -Т7^[(1 + г-і)5'-(1 + І,)^]"в(1 + я) +

а°і+    1 + р

1+И     1          L          \"9 П

+ i        w         r(,і + b , — s. ,) =0.

(l + p)(l + y)V ,+1    ,+1 1+11

 

Из (12.29), (12.30) следует, что:

 

_1+и/        ч-в 1 + П        J -e_rv

"їТр"^'+^    + (і+р)(1 + у)^

Отсюда

-2/+1

 

/+1

f + r,

1 + Р

-2Г+1

(12.31)

На основании (12.31)

г+1

 

1 + г.

10 + p)0+y).

Если проделать аналогичные выкладки для £/,_,, то получим

Подпись: ^2

L = (l+y)e(*)

 

и, следовательно,

 

/+1

(1 + р)(1 + у)

Потребление на душу населения в период t составляет

с, = с„ +

С2Г

1 +я'

поэтому с учетом (*)

'1+1

"2/+1

Г+1

U1+p)(|+y)

(12.32)

Уравнение (12.32) является дискретным аналогом одной из стандартных постановок модели Рамсея для случая, когда р = О, т. е. коэффициент дисконтирования отражает только предпочтения по поводу перераспределения потребления родителей в пользу своих детей и не отражает предпочтения насчет перераспределения во времени потребления одного поколения. Поскольку задача фирмы в модели Рамсея и модели пересекающихся поколений различается только в смысле дискретной и непрерывной постановки, равновесные траектории и устойчивые состояния также не будут отличаться. В этом случае динамическая неэффективность становится невозможной, и последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Барро—Рикардо. Таким образом, введение в модель пересекающихся поколений предпосылки об альтруистических связях между поколениями фактически делает ее дискретным аналогом модели Рамсея. Однако именно отсутствие этой предпосылки в более реалистичной, чем модель Рамсея, модели с двумя типами одновременно живущих и представляющих различные образцы сберегательного поведения экономических агентов, демонстрирует одну из возможных причин несовершенства рынка и необходимости государственного вмешательства.

Пусть выпуск в экономике описывается производственной функцией вида Y = К1/3(ЬЕ)2/3. Полезность экономических агентов описывается логарифмической функцией. Коэффициент межвременого дисконтирования полезности равен 1.

а)         Найдите устойчивый уровень капиталовооруженности в зави-

симости от темпов роста населения и научно-технологического

прогресса.

б)         Пусть в экономике отсутствуют рост населения и научно-

технологический прогресс. Найдите уровень капиталовооружен-

ности и выпуска (оба показателя в расчете на единицу эффективного

труда) в устойчивом состоянии.

в)         Пусть научно-технологический прогресс отсутствует, а каждое

последующее поколение вдвое больше предыдущего. Найдите

в этом случае новый уровень капиталовооруженности и выпуска

в устойчивом состоянии.

г)         На сколько сокращается разница между текущим и устой-

чивым уровнями капиталовооруженности за один период?

Пусть экономика описывается условиями задания 1 пункта «в». Капитал не снашивается. Покажите, что в этом случае она динамически эффективна.

Пусть в экономике отсутствует рост населения и научно-технологический прогресс. Покажите, что если зависимость производительности труда от капиталовооруженности в такой экономике описывается функцией j> = ln(l + к), то она имеет единственный тривиальный устойчивый уровень капиталовооруженности.

Пусть выпуск в экономике описывается производственной функцией вида Y = аЬК^ +(1 -ь)1?Ъ. Полезность экономических агентов описывается логарифмической функцией. Коэффициент межвременного дисконтирования полезности равен 1. Покажите, что при В = 0 в такой экономике существует единственное положительное устойчивое состояние.

Докажите, что если в предыдущей задаче В < 0, то существует хотя бы одно положительное устойчивое состояние.

Покажите, что в условиях задания 4, если В > 0, средняя и предельная производительности капитала ограничены, то при больших значениях параметра А будут наблюдаться не меньше двух стационарных состояний, причем одно из них устойчивое.

Покажите, что в условиях задания 4, если В > 0, средняя и предельная производительности капитала ограничены, то при достаточно малых значениях параметра А возможно существование единственного тривиального устойчивого состояния.

Опишите последствия временного увеличения государственных расходов в модели с производственной функцией Кобба— Дугласа и логарифмической функцией полезности.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 |