Имя материала: Макроэкономика

Автор: Елена Алексеевна Туманова

13.2. модель мультипликатора-акселератора с учетом временных лагов

В этом варианте модели мультипликатора—акселератора учитываются лаги в реализации потребительских и инвестиционных решений. Пусть потребительские расходы в экономике определяются доходом предыдущего периода

С, = а0 + ах ■ Г,_,,      а0>0' 0<а,<1. Индуцированные инвестиции зависят теперь от изменения дохода в предыдущий момент времени

/,= Ь0 +           - Г,_2),     Ь0, А, > 0.

Тогда условие равновесия на рынке товаров и услуг описывается как

Y, = а0 + Ь0 + с0 + (я, +        - Л, • Yt_2. (13.6)

Отсюда видно, что доход текущего периода положительно зависит от дохода предыдущего периода и отрицательно от дохода периода t— 2.

В долгосрочном стационарном состоянии, когда Yl=Yl_l =

= Yf_2 = Y, равновесный доход составит Y = °° + ^° + С° . Проанализируем динамику отклонения текущего дохода от его равновесного значения. Для этого представим, как и ранее, текущий доход

Y,=AYt+Y.

Тогда (13.6) преобразуется в

Y+AY, =a0 + b0 + c0 + (al+bl)(Y+AYt_l)-bl(V + AY,_2). (13.7)

После приведения подобных получим

AY, =(al+b])AYt_l-blAYl_2. (13.8)

Условие (13.8) является однородным конечно-разностным уравнением 2-го порядка.

Для нахождения и исследования динамических свойств решения однородного разностного уравнения 2-го порядка (13.8) используются корни Хх и Х2 так называемого характеристического уравнения [2,12]

X2 - (а, + ЬХ)Х + А, = 0. (13.9) Корни характеристического уравнения (13.9)

 

(13.10)

В зависимости от дискриминанта характеристического уравнения эти корни могут быть:

действительными и не равными друг другу, если дискриминант больше нуля, т. е. (ах + Ьх)2 > 4ЬХ,

действительными кратными при (ах + bx)2 = 4ЬХ;

мнимыми, если дискриминант меньше нуля, т. е. (ах + bx)2 < 4bx.

Тогда решение исходного разностного уравнения (13.8) в случае неравных друг другу корней (действительных или мнимых) может быть представлено в виде

AY, = кхХ+к2Х2, (13.11) а зависимость дохода от времени

Yt = Y +кхХ +к2Х , (13.11')

где кх, к2 — коэффициенты, определяемые начальными условиями экономики.

В случае же кратных действительных корней Х] = Х2 - X = уЛ, j решение (13.8) записывается следующим образом

ЬУ,=к$ + k2tX'. (13.12)

Тогда траектория дохода

Y^Y+kft+kjtX'. (13.12')

Если корни характеристического уравнения мнимые, то выражение (13.10) можно представить в виде

Л,, 2 =Л±V/,

 

где я - —         ;

2

 

Тогда решением (13.11) будет выражение

ДК, =klX + к2Х'2 =/t,(A + v/)' +k2(h-vi)', (13.13)

откуда трудно в явной форме выявить особенности динамики поведения ДК,. Поэтому удобно комплексные числа представить в тригонометрической форме

(h±vi)' = R'(cos wt± і sin wt), (13.14)

где R = V/г2 + v2 = Jbx;

w — радианная мера угла в интервале [0, 2л], для которого v

tgw = -. А

Тогда решение (13.13) можно записать в виде i_

А К, = b (A", cos и* + А2 sin w/),

где Kh К2 —действительные числа, определяемые в зависимости от начальных условий.

Траектория движения дохода в этом случае

 

К, = К +b2(Kxcoswt + K2sinwt). (13.15)

Исследуем теперь равновесие на устойчивость. Оно будет устойчивым, если

НтДУ, =0. (13.16)

Очевидно, что условие (13.16) выполняется тогда и только тогда, когда < 1 и Х2 < 1. Если учесть, что по теореме Виета акселератор Ьх = Х{к2, а суммарная чувствительность потребления и инвестиций к доходу ах + Ьх = Хх + Х2, то из положительности ах и Ьх следует, что корни характеристического уравнения всегда неотрицательны:

0 < А., <1 и 0< Aj< 1. (13.17)

Из (13.10) следует, что (13.17) выполняется, если ах + Ьх< 2. С учетом теоремы Виета в случае (13.17) b{ < 1. Поскольку 0 < а, < 1, то равновесное состояние является устойчивым, если Ьх < 1 и экономика, выведенная из состояния равновесия внешними возмущениями, всегда возвращается в него.

Если же bx > 1, то процесс имеет расходящийся характер и нарушенное равновесие никогда не восстанавливается.

Проанализируем теперь траекторию изменения дохода во времени, определяемую (13.11) или (13.12). Если характеристические корни действительные и различные, т. е. справедливо (13.11), то доход изменяется монотонно — либо увеличивается, либо уменьшается в зависимости от того, превышают ли корни единицу.

Другими словами, независимо от начальных условий при достаточно больших t имеет место монотонное развитие — сходящееся к равновесному состоянию или удаляющееся от него (рис. 13.2).

Если же характеристические корни являются мнимыми и решение записывается в виде (13.15), то динамика отклонения дохода от равновесного имеет колебательный характер. Колебания затухают, и процесс сходится к равновесию, если bx < 1; если же b > 1, то амплитуда колебаний возрастает (рис. 13.3).

Итоговые результаты исследования устойчивости и динамики развития дохода приведены на рис.13.4 и в табл. 13.1.

Можно ли объяснить наблюдаемые деловые циклы с помощью модели. Скорее всего, нет, так как:

циклы, порождаемые детерминистскими моделями, носят регулярный характер, что противоречит эмпирическим наблюдениям;

циклы носят затухающий, взрывной и перманентный характер. Первый и второй противоречат бесконечной повторяемости циклов. Единственный случай повторяющихся циклов — это третий, но он требует слишком редкого сочетания ряда экономических параметров.

 

 

VII

I

 

^ IV

 

II

/

III ^4

V^ 1 b

Рис. 13.4. Характер динамики дохода в зависимости от параметров модели мультипликатора—акселератора

Альтернативный подход — стохастические циклы. В них предполагается, что экономика подвержена случайным, но повторяющимся толчкам (шокам), влияющим на спрос или на предложение.

Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,75, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 0,3. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.

Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,75, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 1,5. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.

Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,75, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 0,1. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.

Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу текущего периода составляет 0,5, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в текущем периоде равна 0,25. Предположим, что первоначально экономика находится в неравновесном состоянии. Будет ли экономика приближаться к равновесному состоянию? Опишите траекторию развития экономики в процессе приспособления.

Пусть в экономике предельная склонность к потреблению по доходу прошлого периода составляет 0,625, а чувствительность инвестиций к изменению дохода в прошлом периоде равна 0,125. Автономное потребление и автономные инвестиции составляют соответственно 120 и 80. Государственные расходы равны 250, чистый экспорт — 150.

а)         Определите равновесное значение выпуска в устойчивом

состоянии.

б)         Найдите фактическую траекторию развития экономики,

если первоначально (в нулевой момент времени) выпуск рав-

нялся 1300, а в период 1 — 1400. Выпишите в явном виде зависи-

мость фактического выпуска от времени. Определите значение

выпуска во периоде 2.

 

в)         Дайте графическую иллюстрацию траектории развития

экономики. Будет ли экономика приближаться к устойчивому

состоянию?

г)         Можно ли с помощью использованной модели объяснить

обычно наблюдаемые в реальности экономические колебания?

Пусть предельная склонность потребления по доходу прошлого периода равна а (0 < а< 1), а инвестиции в запасы пропорциональны изменению потребления по сравнению с прошлым периодом с коэффициентом В (В > 0). Автономное потребление и инвестиции отсутствуют. При наличии государства и внешней торговли определите для этой экономики:

а)         равновесное значение дохода;

б)         выведите формальное решение, определяющее динамику

дохода во времени;

в)         проанализируйте возможные траектории развития эконо-

мики в зависимости от значений структурных параметров;

г)         дайте графическую иллюстрацию, обобщающую пункт «в».

Рассмотрите модифицированную версию циклов Мецлера, в которой производители стремятся поддерживать постоянное соотношение запасов и объема продаж, а ожидаемое значение объема продаж устанавливается на уровне потребления предыдущего периода. Фактический объем запасов таким образом равен К, = кС,_х — (С, — С,_,). Автономные инвестиции отсутствуют. Определите:

а)         функцию инвестиций;

б)         равновесное значение дохода;

в)         выведите формальное решение, определяющее динамику

дохода во времени;

г)         проанализируйте возможные траектории развития эконо-

мики в зависимости от значений исходных параметров;

д)         дайте графическую иллюстрацию, обобщающую пункт «г».

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 |