Имя материала: Моделирование экономических процессов

Автор: Власов М. П.

13.3. прогнозирование экономических систем на основе марковских моделей

В теории вероятностного моделирования к наиболее изученным и исследованным относятся модели, у которых случайный процесс функционирования относится к классу марковских процессов, т. е. марковские модели.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. При исследовании экономических и, в частности, производственных систем наибольшее применение имеют марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если все его возможные состояния можно заранее перечислить, т. е. состояния системы принадлежат к конечному множеству Z={z.}.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если смена состояний может произойти в любой случайный момент; при этом считается, что переход системы из одного состояния в другое происходит мгновенно.

В качестве иллюстрации использования теории марковских процессов построим и решим марковскую модель для следующей простейшей условной задачи.

Постановка задачи. Предположим, что на рынке вычислительного оборудования преобладают дискеты двух марок: А и В. Допустим, что потребители приобретают новую упаковку дискет приблизительно один раз в месяц, и сделаем при этом следующие предположения.

Если в текущем месяце потребитель пользуется дискетами марки Л то с вероятностью 0,6 он будет приобретать их и в следующем месяце, а с вероятностью 0,4 в следующем месяце он приобретет дискеты марки В.

Если в текущем месяце потребитель пользуется дискетами марки В, то с вероятностью 0,7 он будет приобретать их и в следутощем месяце, а с вероятностью 0,3 в следующем месяце он приобретет дискеты марки А.

В матричной форме эта информация может быть записана следующим образом:

0,6 0,4 0,3 0,7

Матрицу Рг называют при этом одноступенчатой матрицей переходов.

Целью решения данной задачи является составление прогноза состояния рынка дискет в обозримом будущем.

Формализация модели. Проанализируем динамику переходов системы из одного состояния в другое в процессе времени, т. е. построим марковские цепи, рассчитывая одновременно соответствующие вероятности переходов.

Первая итерация. Построение матрицы двухступенчатых переходов.

Вероятность того, что потребитель, использующий в данный месяц дискеты марки А, будет их использовать и через месяц, равна Ра->а = 0/8 : (0,6 • 0,6 + 0,4 • 0,3). Графически данный расчет можно проиллюстрировать следующим образом (рис. 13.1).

Аналогично рассчитываются вероятности: РА^В = 0,52(0,6 • 0,4 + 0,4 • 0,7); Рв^в - 0,61(0,3 • 0,4 + 0,7 • 0,7); РВ^А = 0,39(0,3 • 0,6 + 0,7 • 0,3).

В результате получаем матрицу двухступенчатых переходов

0,48 0,52 2   0,39 0,61

которая может быть рассчитана по исходным данным при помощи аппарата матричной алгебры:

 

0,6

0,4

 

0,6

0,4

 

0,48

0,52

0,3

0,7

 

0,3

0,7

 

0,39

0,61

Вторая итерация. Построение матрицы трехступенчатых переходов.

Построение матрицы трехступенчатых переходов проиллюстрируем (рис. 13.2) на примере расчета вероятности того, что покупатель, использовав дискеты марки А в первом дискрете времени, останется их приверженцем и в четвертом дискрете (через три ступени) времени.

Остальные элементы матрицы трехступенчатых переходов будут равны:

Ра->в - (°'48 ' °'4 + °'52 • °'7) " °'556'

Рв-+в ' (°'39 • °'4 + °'61 • °'7) ° °'583' Рв->А - (°'39 • °'6 + °'61 ' °'3) - °'417-

Естественно, что матрица трехступенчатых переходов (Р3), так же как и матрица Рг, может быть рассчитана с использованием матричной алгебры:

 

0,48

0,52

 

0,6

0,4

 

0,444

0,556

0,39

0,61

 

0,3

0,7

 

0,417

0,583

В общем случае для ступени к перехода соответствующая матрица может быть рассчитана по следующей формуле:

 

Прогнозирование рынка товара. Предположим, что в начале наших наблюдений за рынком объем продажи дискет марки А составляет 3Д всех объемов продаж дискет, а объем продажи дискет марки В — лишь У4, т. е. в векторном виде:

 

3?! =(0,75; 0,25).

Рассчитаем аналогичный вектор х2, компоненты которого показывают, какую часть рынка будет контролировать каждая марка дискет через месяц.

Рассмотрим для этого следующую схему (рис. 13.3).

Из рис. 13.3. получаем

х2 - (0,525; 0,475).

 

Сумма элементов по каждой строке матрицы должна быть равна единице.

А: 0,75

 

Б. 0,25

Исходная доля рынка

 

Рис. 13.3. Расчет вектора продаж х2

Аналогично выполняются расчеты и для нахождения вектора х3 (рис. 13.4).

В: 0,475

. 0,315 0,21 — . 0,1425

 

0,5425

 

Как следует из рис. 13.4,

х3 = (0,4575; 05425).

Проиллюстрированные выше расчеты легко реализуются в матричной форме:

0,3 0,7

0,6 0,4

хг=х1-Р1=(0,75; 0,25)-

0,444 0,556 0,417 0,583

(0,525; 0,475);

 

= (0,4575; 0,5425).

х3=х2Р1=х1Р12=(0,75; 0,25)-

В общем случае

 

хк=х,Р*~

Кстати, для службы маркетинга векторы

хг = (0,75; 0,25),

х2 = (0,525; 0,475),

х3 = (0,4575; 0,5425) и т. д.

позволяют увидеть, какая тенденция будет проявляться на рынке дискет во временной динамике.

Для более четкого выявления данной тенденции можно воспользоваться выводами из важнейшей теоремы теории массового обслуживания, которая носит название первой эргодической теоремы.

Данная теорема доказывает, что если исходная матрица Рг не имеет нулевых элементов, то:

Существует единственный вектор х , для которого

хР1 = X

(х называется неподвижным вектором для Р:).

По мере роста к матрица Р* приближается к матрице Р, в которой каждая строка совпадает с х .

Для каждого исходного вектора хк с увеличением к вектор хк приближается к х .

■(а,Ы

Для нашей задачи: (а,Ь)

На основании данной теоремы сразу по исходным данным (по матрице Р-у) может быть рассчитан вектор х .

0,6 0,4 0,3 0,7

[0,6а + 0,3b; 0,4а + 0,7Ь] = (а, Ь).

 

0,ба + 0,ЗЬ = а, Г-0,4а + 0,ЗЬ = 0, 0,4 + 0,7Ь = Ь,   І 0,4а-0,ЗЬ = 0.

Откуда 0,4а - 0,3 Ь = 0.

С учетом того, что а + Ъ - 1, решим систему

|0,4а-0,ЗЬ = 0, {   а + Ь = 1,

3    t 4 откуда найдем а = - и Ь = —.

7 7

Итак, искомое решение: х =

Этот результат показывает, что независимо от нынешнего состояния рынка, если матрица переходов останется равной Pv то будет наблюдаться тенденция к тому, чтобы марка дискет А контролирова-

3 „4 ла - рынка, а марка В — — .

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |