Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 2 элементарные функции 2.1.  основные элементарные функции

 

Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функциями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях математики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств. Забегая вперед приведем два наиболее важных из них: 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения; 2) производная от элементарной функции есть также элементарная функция.

К основным элементарным функциям относят пять классов функций:

степенные у = ха (а — действительное число);

показательные у = ах, а ^ 1, а > 0;

логарифмические у = ogax, а ф 1, а > 0;

тригонометрические: у = sin ж, у = cos ж, у = tg ж, у= ctg х;

обратные тригонометрические: у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx.

Приведем в качестве справочного материала их свойства и графики.

2.1. Основные элементарные функции

31

 

1) степенные функции:

 

1. у = х°:

D(/) = (-oo, 0)U(0, +оо);

E(f) = {1};

четная: (—ж)  = ж ;

постоянна на (—оо, 0) U (0, +оо);

ограниченная;

непериодическая.

 

Рис. 2.1

 

2. у = х:

£>(/) = (-оо, +оо);

E(f) = (-оо, +оо);

нечетная: (—ж)1 = —ж1;

возрастает на (—оо, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

 

 

3. у = хп,

п — нечетное натуральное число ^ 3:

D(f) = (-оо, +оо);

E(f) = (-оо, +оо);

нечетная: (—х)п = —хп

возрастает на (—оо, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

1 х

Подпись:  4. у = хп,

п — четное натуральное число:

D(/) = (-oo, +оо);

E(f) = [О, +оо);

четная: (—х)п = хп

убывает на (—оо, 0), возрастает на [0, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

 

5. у = х п,

п — нечетное натуральное число:

!>(/) = (-оо, 0)U(0, +с»);

E(f) = (-(X), 0)_U (0, +оо);

нечетная: (—х) п = —х п;

убывает на (—оо, 0) U (0, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

 

6. у = х~п, п — четное натуральное число:

D(/) = (-oo, 0)U(0, +оо);

£7(/) = (-оо, 0) U (0, +оо);

четная: (-х) п = х п]

возрастает на (—оо, 0), убывает на (0, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

7. у =

п — нечетное натуральное число:

£>(/) = (-оо, +оо);

E(f) = (-оо, +оо);

нечетная:   Ц/—х = — \[х

возрастает на (—оо, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

 

8. у= Цх,

п — четное натуральное число:

D(f) = [О, +оо);

E(f) = [0, +оо);

общего вида;

возрастает на [0, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

 

 

2) показательные функции:

 

1. у = аж,       0 < а < 1:

£>(/) = (-оо, +оо); ^sL

E(f) = (0, +оо);            і   і   і п^г

общего вида; 1

убывает на (—оо, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

 

2 Я. М. Ахтямов

2. У = ах,

а > 1:

 

 

х

 

£>(/) = (-оо, +оо);

£/(/) = (0, +оо);

общего вида;

возрастает на (—оо, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

Рис. 2.10

 

3) логарифмические функции:

1. у = ogax,       0 < а < 1:

£>(/) = (0, +оо);

E(f) = (-оо, +оо);

общего вида;

убывает на (—ос, +оо);

неограниченная;

непериодическая.

Подпись:

 

1. у = ogax,       а > 1:

£>(/) = (0, +оо);

E(f) = (-оо, +оо);

общего вида;

возрастает на (—оо, +оо):

неограниченная;

непериодическая.

4) тригонометрические функции: 1. у = sin х:

D(f) = (-оо, +оо);

E(f) = [-1, 1];

нечетная: sin(—х) = — sin ж;

возрастает на [-тг/2 + 2тгп, тг/2 + 2тггс], убывает на

[тг/2 + 2тгп, 37г/2 + 2тгп],

п Є Z;

ограниченная: | sin ж| ^ 1;

периодическая: sm(x + T) = sin ж, Т = 2тг.

2. у = cos ж:

£>(/) = (-оо, +оо);

ВД = [-1, 1];

четная: cos(—х) = cos ж;

убывает на

[27ГП,  7Г + 27ГП],

возрастает на

[—7Г + 27ГП,  7Г + 27ГП],

п Є Z;

ограниченная: |cosx| ^ 1;

периодическая:

cos(x + Т) = cos ж, Т = 2тг.

Подпись:

3. у = tgx:

1)         W) =

= ( — 7г/2 + 7ГП, 7г/2 + 7Гп),

п Є Z;

2)         = (-оо, +оо);

нечетная: tg (—ж) = — tgx;

возрастает на

( —7г/2 + 7ГП, 7г/2 + 7ГП),

п Є Z;

неограниченная;

периодическая:

tg(x + T)=tgx,T = 7r.

3. у = ctgx:

D(f)= (тгп, тг + 7гп), п Є Z;

Я (/) = (-оо, +оо);

нечетная: ctg (—х) = —ctgx;

убывает на     (7гп, тг + тгп),

п Є Z;

неограниченная;

периодическая:

ctg(x + T) = ctgx, Т = тг.

Я(/) = [-1, 1];

£(/) = [-7Г/2, +7Г/2];

нечетная: arcsin (—ж) = —arcsin ж;

возрастает на [—1, 1];

ограниченная: |arcsinx| ^ 7г/2;

непериодическая.

Подпись:

 

2. у = arccos х

£>(/) = [-1, 1];

E(f) = [О, тг];

общего вида:

arccos (—х) = 7г — arccos х;

убывает на [—1, 1];

ограниченная: 0 ^ arccos ж ^ 7г;

непериодическая.

3. у = arctgx:

D(f) = (-оо, +оо);

E(f) = (-7Г/2, тг/2);

нечетная: arctg (—х) = —arctgx;

возрастает на (—оо, +оо);

ограниченная: |arctgx| < 7г/2;

непериодическая.

 

4. у = arcctgx:

D(f) = (-оо, +оо);

E(f) = (О, тг);

общего вида:

arcctg (—х) = 7г — arcctgx;

убывает на (—оо, +оо);

ограниченная: 0 < arcctg ж < 7г;

непериодическая.

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |