Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

21.12. динамическая модель леонтьева

Напомним, что статическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева записывается следующим образом:

X = AX + Y.

Предложенная Леонтьевым динамическая межотраслевая модель является классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Эта модель, включающая дополнительно матрицу коэффициентов капиталоемкости В, определяет траектории сбалансированного экономического развития. Качественные свойства этих траекторий зависят от матрицы В (I — Л)-1. При некоторых условиях величина, обратная наибольшему собственному значению матрицы, определяет максимально возможный («технологический») темп прироста экономики, а соответствующий этому значению собственный вектор характеризует необходимые пропорции между объемами производства продукции на «магистральном» (с максимальным темпом прироста) участке экономического развития.

Динамическая модель В. Леонтьева выражается системой дифференциальных уравнений

 

(21.25)

 

Здесь Y(t) — вектор-столбец национального дохода, C(t) — вектор-столбец потребления, К — матрица коэффициентов полной

приростной капиталоемкости, т. е. полных затрат производственного накопления на единичные приросты элементов используемого национального дохода.

Система уравнений (21.25) является матричным аналогом дифференциального уравнения (21.14).

Заметим, что матрица К и матрица прямых материальных затрат А связаны уравнением:

К = В(Е -А)

где А — матрица коэффициентов прямых материальных затрат (в отличие от коэффициентов статического межотраслевого баланса, коэффициенты динамической модели включают также затраты на возмещение основных производственных фондов); В — матрица коэффициентов капиталоемкости приростов производства (затраты производственного накопления на единицу прироста соответствующих видов продукции); (Е — А)~1 — матрица коэффициентов полных потребностей в выпуске продукции для получения единиц соответствующих видов конечной продукции.

V Пример (динамическая модель Леонтьева) 1) . Рассмотрим народное хозяйство в разрезе двух отраслей. Пусть C(t) = О (экономика замкнута, т. е. все потребляется самими отраслями):

Найти динамику роста национального дохода с учетом отраа вой структуры.

находим все элементы решения

Решение. Вычислим матрицы (Е — А)~1 и К = В(Е — А)

г)См. [13, с. 127-128].

15 Я. М. Ахтямов

 

(21.26)

Проанализируем полученное решение. Технологический темп прироста равен 0,275; он соответствует корню Фронебиуса-Пер-рона л = 3,64. Ему соответствует также собственный вектор Y =

= ^q'pj^ ' определяющий структуру вектора У (t). Второе слагаемое в уравнении (21.26) очень быстро стремится к нулю. Поэтому темп прироста национального дохода и его отраслевая структура очень быстро приближаются соответственно к л и У. Уже при t = 30 различия фактических и асимптотических структур становятся меньше 0,001. А

Первая модель В. Леонтьева содержала 44 отрасли, баланс США за 1947 год охватывал примерно 400 отраслей. Современные балансы создаются с помощью быстродействующих компьютеров. Создание таких балансов позволяет прогнозировать тенденции экономического роста и создавать сценарии экономического развития.

ЛЕОНТЬЕВ (Leontief) Василий Васильевич (1906-1999), американский экономист. Родился в России, в Санкт-Петербурге и там же окончил университет. Разработал в 30-х гг. метод экономико-математического анализа «затраты-выпуск» для изучения межотраслевых связей, который широко применяется для прогнозирования и планирования экономики. Лауреат Нобелевской премии (1973).

Так, в 1941-1942 гг. В. Леонтьев опроверг предсказания о том, что послевоенная конверсия промышленности неизбежно приведет к массовой безработице. Вопреки убеждениям о падении спроса на продукцию сталелитейной промышленности США, он доказал (и это подтвердилось): спрос на сталь возрастет благодаря расширению строительства и массовой реконструкции. Этот прогноз был сделан благодаря учету межотраслевых взаимодействий, не улавливаемых, как правило, сторонниками правдоподобных, но упрощенных объяснений процессов, происходящих в экономике.

Заметим, что планирование, основанное на модели межотраслевого баланса не противоречит рыночной экономике. Леонтьев часто использовал сравнение экономики с кораблем: частная инициатива, как ветер в парусах, сообщает экономике свой импульс; планирование же, как руль, направляет экономику в нужную сторону.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |