Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

2.2.  элементарные функции

Сложная функция. Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной и, определенной на множестве U с областью значений У, а переменная и в свою очередь является функцией и = д(х) от переменной ж, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция у = f(g(x)) называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Например, у = sm(x2 + 1) — сложная функция, так как она составлена из двух функций у = sin и и и = х2 + 1.

Разумеется, сложную функцию можно составлять и из большего числа функций. Например, функция у = In (sm(x2 + 1) составлена из трех функций у = In г>, v = sin и и и = х2 + 1.

Понятие элементарной функции. Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи:

а)         алгебраических действий;

б)         операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Функция

у = х2 + sin х

является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций: степенной х2 и тригонометрической sin ж с помощью операции сложения. Функция

у = 3х — х • In х

получена из функций: показательной Зж, степенной х и логарифмической In ж с помощью операций вычитания и умножения. Поэтому она — элементарна.

Элементарна также сложная функция

у = sin ж6,

степенной ж6 и тригонометрической sin ж.

которая образована из двух основных элементарных функций: пенной ж6 Функция

у = Vsin х —

In (х cos х + 4)

получена из основных элементарных функций у = л/х , у = sin ж, у = 2х. у = 1, у = In ж, у = ж2, у = cos х с помощью алгебраических действий сложения, вычитания, умножения, деления и операции образования сложной функции. Поэтому она является элементарной.

Примерами неэлементарных функций являются функция Дирихле и функция у = [х]. Функция Дирихле

у(х) = °i

О, если х — иррациональное число, если х — рациональное число

определена на всей числовой прямой, множество ее значений состоит из двух точек: 0 и 1. График ее изобразить невозможно. На рис. 2.21 приведено лишь схематическое изображение этой функции.

у 3 2

у 3 2

 

1

н         

-1 О

-1

 

х

 

Л О

 

Рис. 2.21. Функция Дирихле и функция у = [х]

 

ДИРИХЛЕ (Dirichlet) Петер Густав Лежён (1805-1859) — немецкий математик, член Берлинской Академии наук. С 17 лет в течении 5 лет был домашним учителем в Париже. В 22 года — доцент в Бреславле. В 26 лет — профессор Берлинского университета. После смерти К. Гаусса (1855) — профессор Гетингенского университета. С именем Дирихле связаны задача, интеграл, принцип, функция, ряды и многое другое. Его лекции имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени.

Функция у = [х] (читается «у равно антье х») — целая часть от значений аргумента — задана для всех вещественных значений ж, а множество ее значений состоит из целых чисел. Ее график изображен на рис. 2.21.

Название элементарных функций сложилось исторически. В процессе развития математики и ее приложений элементарные функции появились сравнительно рано и играли важную роль, поэтому и символы, введенные для их обозначения, как, например, sin ж, стали хорошо известными и привычными. Но с точки зрения современной математики нет никакого основания называть элементарные функции более простыми , чем неэлементарные. Например, элементарная функция

2х -3

у

sin x*

In (х2 ^/cosx + 4)

 

не выглядит проще неэлементарной функции у = [х].

 

3. Преобразования графиков функций. Покажем, как из графика функции у = f(x) можно получить графики функций вида

у = Af(ax + b) + В, где Л, В, a, b — некоторые действительные числа.

 

1. График функции у = f(x) + b получается из графика функции параллельным переносом.

   у /

д           А        Если b > 0, то перенос совершается

д        /J            параллельно оси ординат на расстояние b

\     //   вверх, а если b < 0, то вниз на расстоя-

      /    ниє      На рис. 2.22 изображены графики

—і—і—і ч--^ і—і—г—         функций у = х2 (пунктирной линией) и

у = х2 + 1 (сплошной линией).

 

Рис. 2.22

 

2. График функции у = f(x + а) также получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом.

Если а > 0, то график переносится параллельно оси абсцисс влево на расстояние а, а если а < 0, то вправо на расстояние а. Нарис. 2.23 изображены графики функций у = х2 (пунктирной линией) и у = (х + I)2 (сплошной линией).

 

3. График функции у = Af(x), где Л > 0, получается из графика функции у = f(x) растяжением или сжатием вдоль оси ординат.

Подпись:

Если А > 1, то график функции растягивается вдоль оси Оу в Л раз, а если 0 < Л < 1, то сжимается в 1/Л раз. На рис. 2.24 изображены графики функций у = sin х (пунктирной линией) и у = 2 sin ж (сплошной линией).

График функции у = /(а ж), где а > О, получается из графика функции у = f(x) сжатием к оси ординат или растяжением вдоль оси абсцисс.

у

лл1

Рис. 2.25

График функции у = f(ax) есть график у = f(x), сжатый (при а > 1) в а раз или растянутый (при 0 < а < 1) вдоль оси Ох. На рис. 2.25 изображены графики функций у = sin х (пунктирной линией) и у = sin 2х (сплошной линией).

График функции у = —f(x) получают из графика функции у = f(x) зеркальным отражением относительно оси абсцисс.

 

На рис. 2.26 изображены графики функций у = х2 (пунктирной линией) и у = —х2 (сплошной линией).

6. График функции у = f(—x) получается из графика функции у = f(x) зеркальным отражением относительно оси ординат.

 

На рис. 2.27 изображены графики функций у = ах, где а > 0 (пунктирной линией) и у = а~х (сплошной линией).

 

7. Рассмотрим теперь, как получается график функции y = Af(ax + b) + B, где А > 0 и а > 0, из графика функции у = f(x). Так как

y = Af(a (х + Ь/а))+В,

то сжатием вдоль оси абсцисс получим график функции у = = f(ax). Из этого графика сжатием вдоль оси ординат получим график функции у = Af(ax), из которого параллельным переносом вдоль оси абсцисс на Ь/а единиц и вдоль оси ординат на В единиц получим график функции у = Af(ax + b) + B.

Работайте, работайте, — полное понимание придет потом.

Даламбер

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |