Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 3 предел последовательности 3.1.  понятие сходимости

Определение. Последовательностью называется числовая функция /(п), заданная на множестве натуральных чисел N.

В дальнейшем вместо f(n) будем писать ап.

Если п — натуральное число, а ап — значение последовательности в точке п, то говорят, что п называется номером числа ап, а само число ап называют общим или п-м членом последовательности. Для последовательности с общим членом ап употребляются следующие обозначения:

an,       п = 1, 2, 3...;

КО;

{ап} •

Графиком последовательности является изолированное множество точек плоскости.

V Пример 1. Даны последовательности:

ап =      а = 1, 2, 3...;

п

оп = (-1)п, п = 1, 2, 3...;

ап = п — 2, п = 1, 2,3....

Изобразить несколько первых ее членов на координатной плоскости.

Решение. Придавая п значения 1, 2, 3, 4, 5, получим: 11111

ах = -. а2 = -, а3 = -. а4 =      аъ = -;

ai = -1, а2 = 1, а3 = -1, а4 = 1, аГ) = -1;

аі = —1, а2 = 0,      = 1,      = 2, а5 = 3.

Графики этих последовательностей изображены на рис. 3.1. А

Подпись: 1  2  3 4 5

Подпись: 1  2  3 4 5
з-

2-1-

 

-1

 

 

х

н—і   Т   Т Т

1  2  3  4 5

3-2-1-

 

-1

 

 

х

 

 

х

Рис. 3.1. Графики последовательностей

V Пример 2. Пусть в момент времени п цена на товар со-1

ставляет ап = 1 Н— денежных единиц. Определить к какой цене п

стремится цена на товар с течением времени.

Решение. С ростом номера п число ап (n-й член последовательности) становится все ближе к 1. Действительно, разность ап — 1| (расстояние от ап до 1) приближается к нулю:

при п = 1 равна |1 + 1 — 1| = 1;

при п = 2 ап - 1| = |1 + 1/2 - 1| = 1/2;

при п = 3   ап — 1| = |1 + 1/3 — 1| = 1/3;

при п = 4   ап - 1| = |1 + 1/4 - 1| = 1/4;

при а = 10   ап - 1| = |1 + 0,1 - 1| = 0,1;

при п = 100   ап - 1| = |1 + 0,01 - 1| = 0,01;

при п = 1000   ап - 1| = |1 + 0,001 - 1| = 0,001.

Легко заметить, что:

при п > 1 имеем ап — 1| < 1;

при п > 10 имеем |ап — 1| < 0,1;

при п > 100 имеем |ап — 1| < 0,01;

при п > 1000 имеем ап — 1| < 0,001.

Таким образом, с течением времени цена на товар падает и приближается к единице. Единицу именуют пределом последовательности изменения цены товара. А

Приведем более точное определение предела.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {ап}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа є > 0, найдется такое число N (зависящее от є, TV = TV (є)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство

а < е.

(3.1)

Если это выполняется, то пишут hm ап = а или ап     а при

П —> ОО.

Обозначение lim — сокращение от латинского слова limes — «предел» и равнозначного французского слова limite.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

Используя логические символы V (вместо фразы «для любого»), 3 (вместо слова «найдется») и символ равносильности определение предела можно записать в виде

(а = lim ап)    О    (Ve > О   3N   Vn > N      ап - а < є).

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших п члены последовательности {ап} как угодно мало отличаются от числа а (по абсолютной величине меньше, чем на число є, каким бы малым оно ни было).

V         Пример 3. Пусть ап = 1 + —. Доказать, что lim ап = 1.

Решение. С ростом номера п число ап (n-й член последовательности) становится все ближе к 1. Действительно, разность ап — 1| (расстояние от ап до 1) приближается к нулю. Более

строго, для любого є > 0 выберем число N равным -. Отсюда

1          1        1 6

для любого п > N = - имеем: а > - или — < е. Но ап — 11 =

І           І       є en

= 11 Н 11 = —. Поэтому ап — 11 < є. Таким образом,

п п

Ує > О   3N (N = -)   Vn > N   ап - 11 < є.

є

Это и означает, что lim ап = 1. А

V         Пример 4. Дана последовательность

а = 0,3,    CL2 = 0,33,    аз = 0,333,    ... .

Доказать, что lim ап = .

Решение. Общий член последовательности ап неограниченно приближается к -. Действительно, разность ап — - последовательно равна

11        11 11

3       30'      z    3       300'      ^3 3000' т. е.

_ 1 _ _ 1

ап~ з ""гГйР

Неограниченность приближения ап к ^ выражается в том,

_^ о

что абсолютная величина разности ап       , начиная с некоторого

о

номера остается меньше любого (заранее заданного) положительного числа є. Так, если задать є = 0,01, то N можно выбрать равным единице, поскольку начиная со второго номера (п > N), абсолютная величина остается меньше 0,01. Если задать є =

= 0,005 ^=        •> то по-прежнему можно считать, что N = 1.

Если є = 0,001, то N = 2; если є = 0,00001, то N = 4 и т. д. А

V         Пример 5. Показать, что число 2 является пределом по-

(-1)п

следовательности ап}, где ап = 2 Н           .

п

Решение. |ап — 21 = —, а величина —, начиная с некоторого п п номера, остается меньшей любого заранее данного положительного числа є (если є = 2, то начиная с первого номера; если є = 0,02, то с 51-го и т. д.). А

Пример 5 показывает, что члены последовательности могут быть то больше, то меньше предела. Они могут и равняться пределу (см. следующий пример).

V         Пример 6. Показать, что последовательность 0, 1, 0, ^, 0,

1          і           1 (-1Г

общий член которой выражается формулой ап = —|       ,

З          п п

имеет предел b = 0. А

Решение. Величина ап — 0| =

і + (-і)"

п п

начиная с неко-

торого номера, остается меньше любого сколь угодно малого по-

/ 1

ложительного числа є (если є = -, то начиная с седьмого номера;

о

если є = 0,01, то с 201-го и т. д.). А

V Пример 7. Показать, что последовательность ап = (—1)п не имеет предела.

Решение.   Члены   последовательности   а± = — 1,   а<х = 1, аз = — 1, а4 = 1 и т. д. не стремятся ни к какому числу. Действительно, какое бы число мы ни предложили в качестве предела а при є < 0,5 неравенство ап — а < є, определяющее предел последовательности, не удовлетворяется. Вне є-окрестности этого числа остается бесконечное число элементов ап. А

В определении сходимости и предела последовательности нет ясного указания на то, как проверять сходимость и как находить предел. Поэтому для вычисления пределов используются специальные критерии. Этим критериям и посвящен следующий параграф.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |