Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

3.4.  числовые ряды

Путем деления всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в периодическую десятичную дробь. Дробь 1/3 можно представить в виде следующей бесконечной периодической дроби:

0,333....

Запишем ее иначе:

1/3 = 0,333... = — + — + — + ... . (3.6)

1        ' 10     100     1000        v ;

Это представление называется представлением числа 1/3 в виде ряда. Записанное равенство не означает, разумеется, что мы складываем бесконечно много чисел и в результате получаем 1/3. Бесконечное число суммирований нельзя произвести. Речь идет о том, что 1/3 является числом, от которого сумма отличается сколь угодно мало, если сложить достаточно много членов.

Поставим теперь обратный вопрос: для всякой ли периодической десятичной дроби (соответствующего ряда) найдется обыкновенная дробь, которая в нее преобразуется? Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства достаточно использовать бесконечную геометрическую прогрессию.

Напомним некоторые сведения о геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Общий (n-й) член последовательности определяется по формуле

bn = b1-qn-

где Ь — первый член прогрессии, a q — ее знаменатель.

Как найти сумму первых п членов прогрессии? Если q = О, то сумма первых п членов Sn = b. Если q = 1, то очевидно, что Sn — Ь + ... + b = п • Ь. Предположим теперь, что q ф 0 и q ф 1. Тогда

Sn = 61 + &i q + ■ + bx qn~l = 6i (l + q + q2 + ...qn~l) .

Умножим обе части полученного равенства на q: qSn = b1 (q + q2 + q3 + ...qn) . Вычитая первое равенство из второго, получаем

(q-l)Sn = qSn-Sn = h (-1+ <?").

Поскольку q ф 1, то разделив обе части последнего равенства на (q — 1), получим сумму первых п членов геометрической прогрессии:

ап - 1

sn = b,.q-         ±

 

Вернемся опять к бесконечным периодическим десятичным дробям, о которых шла речь выше, и рассмотрим дробь 0,333..., а также последовательность

Si = 0,3,    S2 = 0,33,  Sn = 0,33...3.

Это можно записать иначе:

Sl = To>  S2 = To + W'   -'  Sn = To + W + - + W-

Sn является суммой первых п членов геометрической прогрессии, первый член которой Ь = —, а знаменатель q = —. Используя формулу для суммы п членов геометрической прогрессии, получаем:

_ То j1 ~ ltbQ _ 1 (     Т_

Ьп~     1-і     ~ 3 ^ ю-

 

Отсюда S = lim Sn =

п—>оо 3

В результате мы преобразовали бесконечную десятичную дробь в обыкновенную.

Рассмотрим теперь в более общем виде последовательность {Sn} частичных сумм геометрического ряда

оо

br + b2 + ... + Ьп + ... =

к=1

получаемого из геометрической прогрессии, когда q ф 1.

 

1-q       1-q 1-q Если q < 1, то qn —> 0 при п —> оо, поэтому

S = lim Sn = ^ ^1  ,       если Ы < 1.

n—too 1 — q

При других значениях g последовательность {Sn} не сходится.

Будем говорить, что бесконечный геометрический ряд сходится, если q < 1 и его сумма

S = lim Sn = ^

п—>оо            1 — q

Таким образом, под суммой бесконечного геометрического ряда мы понимаем предел последовательности его частичных сумм.

Пример геометрического ряда подводит нас к общему понятию числового ряда.

Определение. Бесконечным числовым рядом или просто числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и, U2, ..., ип, ..., чисто формально соединенных знаком плюс:

 

ui + и2 + ... + ип + ... = ^2

п=1

Числа г^і, U2-) ..., ип, ... называются членами ряда, а член ип — общим или п-м членом ряда.

оо

Обозначение ^ ип читается как «сумма ип, где п изменяется

п=1

от 1 до оо». Часто это обозначение читают еще короче «сумма ип от 1 до оо».

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Si = 1/1,     ^2 = ^1 + ^2,     ••• ,     Sn = U1+U2 + +ип.

Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й частичной суммой ряда.

При п —> оо возможны два случая.

I. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn стремится к конечному пределу S :

lim Sn = S.

п—>оо

Тогда говорят, что ряд сходится и число S называется суммой этого ряда.

П. При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм — этот предел называется суммой ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.

Таким образом, сумма бесконечного ряда получается не в результате суммирования всех членов, а как предел последовательности частичных сумм ряда. Понимание суммы ряда как суммирования всех его членов приводит к недоразумениям. Например, что считать суммой ряда

1-1 + 1-1 + ...?

Многие скажут, что суммой ряда следует считать 0, поскольку члены ряда можно сгруппировать так:

(1-1) +(1-1) +(1-1) + ... =0 + 0 + 0 + ... = 0.

Но другие возразят, что группировать можно и по другому — не начиная с первого члена, а начиная со второго, то есть так:

1 +(-1 + 1)+ (-! + !) + ... = 1 + 0 + 0+... = 1.

Между тем, и те и другие не правы. Этот ряд расходится, поскольку последовательность частичных сумм не имеет предела:

£і = 1,    £2 = 1-1 = 0,    S3 = 1-1 + 1 = 1, ....

Только понимание суммы ряда как предела частичных сумм позволяет избежать многих недоразумений и парадоксов.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |