Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 4 предел функции и непрерывность

4 х2 - 1

V Пример 1. Функцию у = f(x) = —           — определена во

АХ -L

всех точках, кроме х = -. Найти предел функции при х —> 6.

4 • б2 - 1

Решение. Возьмем а = 6. Тогда /(6) = —-—— = 13. По

мере приближения любой последовательности {хп} к 6, числитель 4 ж2 — 1 стремится к 143, знаменатель — к 11. Вся дробь стре-143

мится к -jTj- = 13. Число 13 (равное значению функции при х = 6) есть вместе с тем предел функции при х —> 6:

4 ж2 - 1

lim ±£  і = із. А

ж-^6 2х - 1

V Пример 2. Рассмотрим ту же функцию f(x) =

4ж2-1 2- 1 '

Найти предел этой функции при х     а = -.

Решение. Функция /(ж) в точке а = і не определена (формула дает неопределенное выражение jj ). Но предел функции при ж —>> - существует. Он равен двум.

4 х2 - 1

Действительно,  выражение  /(ж) = —       — неопределено

АХ -L

только при ж, равном -, но при приближении членов любой

последовательности {хп} к і, выражение 2хп — 1 отлично от

4 ж2 - 1

нуля. Поэтому, разделив числитель дроби -—-—- на отличный

^ \%п 1

от нуля знаменатель, получим 2хп + 1. А последнее выражение стремится к числу 2. Следовательно,

 

lim       = 2. А

*А 2х~1

 

V Пример 3. Доказать, что функция f(x) = sin — не имеет предела при х —> 0.

Решение. Рассмотрим последовательность {хп}, где хп =

= —■  -. Ясно, что хп ф О,   lim  хп — 0. Построим по-

7Г/2 + 7Г(п + 1)         П^ + ОО

СЛЄДОВаТЄЛЬНОСТЬ {уп}, ГДЄ уп = Sin 1/хп = sin(7r/2 + 7Г (п + 1)).

Последовательность уп совпадает с последовательностью

-і, і, -і, і, -і,

которая, как мы знаем, расходится. Отсюда следует, что функция f(x) = sin — не имеет предела. А

Существует другое определение предела функции, в котором не используется понятие предела последовательности.

Определение 2. Число b называется пределом функции f(x) при х а (или в точке х = а), если для любого є > 0 существует такое S > 0, что при всех ж, удовлетворяющих условию 0 < < х — а < 6 выполняется неравенство f(x) — b < є.

С помощью логических символов определение можно записать в следующем виде:

(6=lim/(,)) *

 

(Ує>0  3£ = £(є)>0  Ух фа:   х - а < 6 f(x)-b\<e).

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции у = f(x), точки х = а, у = Ь. Выберем є > 0 и построим прямые у = b + є, у = b — є. Число b является пределом функции f(x) в точке х = а, если найдется ^-окрестность точки а такая, что часть графика функции /(ж), для которой х Є (а — 5, а) U (а, а + 5), попадает внутрь полосы, ограниченной прямыми у = Ь — є и у = b + е.

Определения 1 и 2 эквивалентны. Первое определение предела функции основано на понятии числовой последовательности, и его называют определением на языке последовательностей или определением по Гейне. Второе определение носит название определение на языке е-8 или определение по Коши. К достоинству определения 1 можно отнести возможность доказательства того, что функция в точке не имеет предела (пример 3). Недостаток состоит в том, что для доказательства существования предела в точке надо перебирать теоретически бесконечно много последовательностей {хп}. Поэтому нельзя дать строго доказательства

4-2. Бесконечно большая величина

59

существования предела. В этом смысле определение 2 предпочтительнее.

ГЕЙНЕ (Heine) Генрих Эдуард (1821-1881), немецкий математик, чл.-корр. Берлинской Академии наук. Работал в университетах в Бонне и Галле. Основные труды по теории множеств, математической физике.

 

КОШИ (Cauchy) Огюстен Луи (1789-1857), французский математик, член Парижской Академии наук. Работал инженером в Шербуре, преподавал в Политехнической школе, Колеж де Франс и в Парижском университете (отказывался от должности в университете до тех пор, пока не была отменена присяга в лояльности правительству). Оставил свой след во многих областях математики. Его курсы анализа, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. В них он дал определение понятия непрерывности функции, четкое определение сходящихся рядов, определение интеграла как предела суммы и др.

Пределом постоянной величины b называется сама величина Ь.

Это определение вводится для того, чтобы основные теоремы о пределах были верны во всех случаях без исключения. Оно согласуется с определениями 1 и 2 (величина |6 — 6| = 0 меньше любого положительного числа є).

V Пример 4. Доказать, что lim (2 х + 1) = 3.

Решение. Неравенство |(2 х + 1) — 3| < є эквивалентно неравенству 2(х — 1)| < є или х — 1| < є/2. Таким образом, для любого є > О можно взять S = є/2, тогда для всех х таких, что х — 1| < будет справедливо неравенство (2х + 1) — 3| = = |2 (х — 1)| < є. Это и означает, что

lim (2 ж+ 1) = 3. А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |