Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

4.3.  расширение понятия предела

В этом параграфе будут введены понятия бесконечного и одностороннего предела, которые являются обобщением понятия предела в смысле определений предыдущего параграфа.

1. Бесконечные пределы. Если переменная величина у бесконечно велика, то говорят, что у стремится к бесконечности и пишут

у —> оо    или    lim у = ос. (4.1)

Если бесконечно большая величина у для достаточно больших значений у является положительной, то говорят, что она стремится к плюс бесконечности. Это обозначают так:

у —)> +оо    или     lim у = +оо.

Если бесконечно большая величина у для достаточно больших значений |у| является отрицательной, то говорят, что она стремится к минус бесконечности и пишут:

у —)> —оо    или     Пш у = —оо.

Вместо записи (4.1) для большей выразительности иногда пишут:

у —)> ±оо    или     lim у = ±оо.

величина при х —> —. Говорят, что функция у = tgx имеет бес-

V Пример 1. Функция у = tgx есть бесконечно большая ичина при х —> конечный предел:

lim tg х = оо.

 

Чтобы подчеркнуть, что функция tgx при х —> — может принимать как положительные значения ^при х < , так и отрицательные ^при х > ^, пишут:

lim tgx = ±оо. А

 

V         Пример 2. Запись lim — = 0 означает, что когда абсолют-

ам—>-оо х

ное значение х неограниченно возрастает, функция I стремится

x

к нулю. А

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х —> оо, если абсолютное значение остается большим любого заранее данного положительного числа М, всякий раз как х больше некоторого положительного числа N (зависящего от М).

Неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция х sin ж является неограниченной (ее значения могут быть как угодно большими), но не бесконечно большой при х —> оо, так как с ростом х функция все время колеблется, и неравенство х smx > М не может выполняться при всех ж, для которых х > N.

V         Пример 3. Можно написать:

lim  ех = +оо    или       lim  ех = оо.

х—>--ос х—>--ос

Вторая запись оставляет открытым вопрос о знаке функции ех. Но нельзя под знаком предела вместо х —> +оо написать х —> оо. Последняя запись включала бы и тот случай, когда х —> — оо, что было бы неверно, так как

lim  ех =0. А

 

Заметим, что бесконечно большая величина не имеет предела в смысле определений предыдущего параграфа, ибо никак нельзя сказать, например, что разность между f(x) и оо остается меньшей заранее данного положительного числа. Таким образом, введение бесконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.

2. Односторонние пределы. Если любая последовательность хп а, хп < а (а — число или символ —оо) при любом п Є N, то говорят, что функция f(x) при х а (слева) имеет левый односторонний предел

6 = /(а-0)=   lim J(x)= lim f(x).

x—Ya—0

x—>a

x<a

Символическая запись х —> а — О обозначает, что х принимает лишь значения, принадлежащие интервалу (с, а) с < а. Для существования одностороннего предела от функции достаточно потребовать, чтобы функция f(x) была определена лишь в интервале (с, а) с < а, т. е. левее точки а. Поэтому соответствующее значение обозначается символически f(a — 0).

Говорят, что функция f(x) при хп а (справа) имеет правый односторонний предел

6 = /(a + 0)=   lim J(x)= lim /(ж),

x—Ya

x>a

если функция f(x) была определена в некотором интервале (a, d) (а — число или символ +оо), т. е. правее точки а, и любая последовательность хп а, хп > а (а — число или символ — оо) при любом п Є N.

V Пример 4. Найти пределы

lim Ы

ж->1-(Г J

И

lim Ы

ж->1+(Г J

где [x] — целая часть x. Решение.

Подпись:

 

lim   [x] = lim [ж] = 1. A

 

Если f(x) имеет в точке a (a — число) односторонние пределы f(a — 0) и f(a + 0) и f(a — 0) = f(a + 0) = b (b — число или один из символов — оо или +оо. Тогда f(x) имеет в точке а обычный (двусторонний) предел lim = f(a) = b.

Если односторонние пределы различны, т. е. f(a — 0) ф Ф f(a + 0), то не существует и предела функции при х —> а.

В примере 4 показано, что односторонние пределы функции у = [х] не совпадают. Отсюда следует, что эта функция не имеет предела при х 1.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |