Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

4.4.  бесконечно малая величина

Определение. Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.

V         Пример 1. Функция х2 — 4 есть бесконечно малая величина при х —> 2 и при х —> —2. При х —> 1 та же функция не является бесконечно малой, ибо ее предел равен —3. А

V         Пример 2. Функция sin х есть бесконечно малая величина при х —> 0 и при х —> тт. При х 7г/2 та же функция не является бесконечно малой, так как ее предел равен 1. А

5 х + 3

V         Пример 3. Функция  не является бесконечно малой

x + 1

величиной при х —> 1. А

3

V         Пример 4. Последовательность — есть бесконечно малая

п

величина, ибо предел этой последовательности равен нулю. А

Из определения бесконечно малой величины следует, что утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у — b есть бесконечно малая величина» равнозначны.

5 х + 3

V         Пример 5. Уравнение lim     = 4 эквивалентно фразе

Х-ЇІ  х + 1

5 х + 3

«величина      4 бесконечно мала». А

х + 1

Из постоянных величин лишь нуль является бесконечно малой величиной.

Основные свойства бесконечно малых величин

1. Сумма двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Это свойство и для трех, четырех и вообще любого неизменного числа слагаемых бесконечно малых величин. Если число слагаемых не остается неизменным, а меняется вместе с изменением

аргумента, то свойство 1 может потерять силу Так, если имеем п

слагаемых равных —, то при п —> оо каждое слагаемое бесконечно п

мало, но сумма

11 11

- + - + ... + - = - -П

п     п   п п

равна 1.

2.         Произведение ограниченной величины на бесконечно малую

величину есть бесконечно малая величина.

В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

3.         Частное от деления бесконечно малой величины на пе-

ременную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю;

есть бесконечно малая величина.

Эти свойства доказываются по определению. Поскольку они интуитивно понятны и легко запоминаются, доказательства опускаем.

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Из определений бесконечно большой и бесконечно малой величин следует, что если у — бесконечно большая

величина, то — — бесконечно малая: если у — бесконечно малая У

величина, то — — бесконечно большая. У

5

V         Пример 6. Величина         — бесконечно большая при х —>

х — 1

х — 1

—> 1. Обратная дробь —-— — бесконечно мала при х —> 1. А

о

V         Пример 7. Величина tgx бесконечно мала при х —> О,

величина               = ctgx бесконечно велика при х —> 0 (вспомните

графики этих основных элементарных функций). А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |