Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

4.5.  сравнение бесконечно малых

Пусть а(х) и /3(х) — бесконечно малые при х а. Их частное может и не быть бесконечно малым. Действительно,

если а(х) = 6х и f3(x) = 2х, то

 

01 { x і            6 x

lim      ! = lim — = lim 3 = 3.

ж->о /3(х)     ж->о 2х ж->о

Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной -. В зависимости от того, какие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу, или символу бесконечности. Действительно, вычислим следующие пределы отношения бесконечно малых:

 

 

5 ж

І1Ш —

= lim 5

= 5,

ж->-0 x

ж-^0

lim -^т

= lim —

= оо

ж->0 х

ж^О x

 

х2

lim —

= lim х

= 0.

ж->-0 x

ж-^0

 

В первом случае предел отношения бесконечно малых равен 5, во втором — символу бесконечности, в третьем — нулю.

Поэтому частное бесконечно малых называют неопределенностью вида jj, а нахождение предела дроби называют раскрытием неопределенности.

01 { x і

Определение. Если отношение ^ ^ двух бесконечно малых

величин само бесконечно мало, то а(х) называется величиной более высокого порядка малости, чем /3(х); при этом /3(х) называется величиной более низкого порядка малости, чем а(х).

ol ( x )

Если отношение        двух бесконечно малых величин стре-

рХ)

мится к конечному пределу, не равному нулю, то а(х) и /3(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости. В част-

01 { x і

ности, если отношение       ч  двух бесконечно малых величин

/3(х)

стремится к 1, то а(х) и /3(х) называются эквивалентными. В этом случае пишут а(х) ~ /3(х).

З Я. М. Ахтямов

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Пусть а(х) — бесконечно малая при х —> 0. Тогда

sin а(х) ~ а(х) tga(x) ~ а(х) In (1 + а(х)) ~ а(х) 1 — cosa(x) ~ («(^)) /2

arcsin а(х) ~ а(х)

arctg а(х) ~ а(х) а<*(х) _ J _ а(ж) .ina

(1 + се(ж))р — 1 ~ ра(х).

 

Принцип замены эквивалентных. Если функции а(х) и (3(х) являются бесконечно малыми при х —> а и если а(х) ~ ~ 7(ж), fi{x) ~ то

 

V Пример. С помощью принципа замены эквивалентных вычислить пределы:

ч          sin 6х

а) пш

ж->0 In (1 + Зж) 1 — cos ж

б) lim

ж-И) arctg хА

Решение.

ч          sin6x    6ж _

а)         Inn -—            —— = lim — = 2:

ж->о In (1 + Зж)    ж->о Зж

^ч        1 — cosх         ж2/2 1

б)         lim       Т = lim —^- = -. А

ж->0 arctg ж      ж->0  ж 2

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |