Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

4.6.  основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и 5(ж) — функции, для которых существуют пределы при х —> а (мы не исключаем случая а = оо):

 

Yunf(x) = b,       Yimg(x) = c.

 

Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

4-6. Основные теоремы о пределах

67

2. Предел алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме пределов этих функций, т. е.

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

 

3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, т. е.

lim (f(x) • g(x)) = lim f(x) • lim g(x).

X—Yd            X—Yd

 

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

lim (с • f(x)) = с • lim f(x).

 

4. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю:

 

х^а g(x)      lim д(х)

 

В случае, когда lim д(х) равен нулю, но lim f(x) ф 0, теорема

X  Yd  X Yd

остается верной, если ее истолковать в более широком смысле. Запись lim f(x) = f - j  (с — число, не равное нулю) следует по-

<0>

нимать в том смысле, что

lim f(x) = оо.

 

Таким образом, можно считать

(§)

оо.

 

Выражение - взято в скобки, ввиду условности этой записи.

Аналогичные записи можно ввести и для односторонних пределов:

= +0°'

= —оо,

при с > 0.

V Пример 1. Найти пределы

 

lim —    и      lim —.

ж-^-0 x            ж-^+0 x

 

Решение.

lim  — = lim — = ( — ) = —оо.

ж-» о 4

ж<0

 

lim   — = lim — =       f — ) = +оо. А

ж^+о х            -х         V+0>

ж—>-0            4 J

ж>0

 

В случае, когда lim f(x) = О и lim g(x) = О, теорема непри-

ж  Yd  ж Yd

0 тт

менима, так как выражение - является неопределенным. Но

неверного результата теорема не может дать и в этом случае.

«Сокращать» на нуль и писать 1 вместо -, конечно, нельзя. Этот

символ служит сигналом, закрывающим прямой путь подстановки и заставляющим искать путь раскрытия этой неопределенности (например, с помощью сокращения общих множителей).

5. Если lim f(u) = с, lim g(x) = 6, то предел сложной функ-ции

lim f{g(x)) = с.

 

6. Если существуют конечные пределы

lim f(x) = b > О,       lim g(x) = с,

ж—>-а

имеет место соотношение

^jm)'^ = (^am)^eix) = b

 

7. йуш в некоторой окрестности точки а (окрестностью точки оо считаем множество достаточно больших х) выполняется нестрогое неравенство f(x) ^ 5(ж), то для соответствующих пределов выполнено нестрогое неравенство:

lim f(x) ^ lim g(x).

(Заметим, что если в окрестности точки а выполняется строгое неравенство f(x) < д(х), то утверждение теоремы сохраняет свою силу, так как из строгого неравенства в пределе получается, вообще говоря, нестрогое.)

8. Если в некоторой окрестности точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и(х) и г;(ж), имеющими одинаковый предел b при х —> а, то функция f(x) имеет тот же предел b :

и(х) ^ f(x) ^ v(x),    lim и(х) = 6,    lim v(x) = b

lim fix) = b.

x^a J V J

 

□ Докажем в качестве примера первое свойство. Предположим противное, т. е. что функция f(x) имеет два разных предела b и с:

lim fix) = 6,    lim fix) = с,       b Ф с.

х^а J V   )        '     х^аJ V   )        ' '

Поскольку утверждения «число 6 есть предел величины у» и «разность у — b есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины

а(х) = f(x) - 6,       р{х) = f(x) - с

бесконечно малы при х —> а. Вычитая почленно эти равенства, получим

а(х) — (3(х) = с — b ф О,

что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х а, имеем: 0^0. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. ■

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |