Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 5 техника вычисления пределов 5.1.  непосредственное вычисление пределов

На протяжении всей главы считается, что функция у = f(x) элементарна.

При вычислении предела lim f(x) вначале проверяют принадлежит ли точка а области определения. Если а Є D(f), то предел равен значению функции f(x) в точке а:

 

lim f(x) = f(a)

 

(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения).

V Пример 1. Вычислить:

а)         lim (ж3 — х)]

ж—>-2

х\% _ х

б)         lim       —;

ж->2 х - 1

в)         lim cos ж.

ж->0

Решение.

а)         lim (ж3 - х) = 23 - 2 = 6;

ж—>-2

б)         lim       ^ =       ^ = 6:

) ж^2 х — 1 2-1

в)         lim cos ж = cos 0 = 1. А

7 ж->0 5.1. Непосредственное вычисление пределов 77 Правило сохраняет силу, если а = оо. Запись  lim — = О,

X   У ОО ОС

например, означает, что когда абсолютное значение х неограниченно возрастает, функция — стремится к нулю (это ясно из графика функции).

V         Пример 2. Найти:

а)         lim arctgx;

ж—Y+OC

б)         lim arctgx;

x—> — оо

в)         lim  ех.

х—> — оо

Решение.

а)         lim  arctgx = +7г/2;

х—>-+оо

б)         lim  arctgx = — 7г/2;

ж——оо

в)         lim  еж = 0. А

ж—У — оо

ж2+1

^тт       о   тт   «       і-      і   Ж + М ~*+3"

V         Пример 3. Найти lim            

 

Решение.

ж2+1

x^i2x + lj        x^i2x + lj        3J V3

При подстановке в значение функции f(a) вместо а символа бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:

 

lim (х — 3) = +оо — 3,          lim (—3х) = (—3) • (—оо),

ж->-+оо х-У-оо

-3 -3

І1Ш                 =          .

ж—у — оо  х —ОС

 

Что считать ответом в этом случае?

При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает число):

+оо + с = с + (+оо) = +оо + (+оо) = +оо, —оо + с = с + (—оо) = —оо + (—оо) = —оо, (+оо) с = с (+оо) = (—оо) (—с) = (—с) (—оо) = +оо, при с > О, (—оо) с = с (—оо) = (+оо) (—с) = (—с) (+оо) = —оо, при с > О, (+оо) (+оо) = (-оо) (-оо) = +оо, (+оо) (—оо) = (—оо) (+оо) = —оо,

_£- = -£- = о.

Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной. Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».

Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:

lim (х — 3) = +оо — 3 = +оо,

ж->-+оо

lim (—3 х) = (—3) • (—оо) = +оо,

ж—> — оо

lim —- = —— = 0.

Х-Ї — ОО  х —оо

Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при х ±оо. Надо проследить по графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к ±оо.

V Пример 4. Вычислить:

а)         lim      5 ;

ж^оо 4 X + 1

б)         lim  In ж;

ж—>-+оо

+ 00 —оо

в)   lim еж.

ж—>-+оо

Решение.

а) При х —> оо знаменатель 4 ж + 1 неограниченно растет,

т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная вели-

чина                — бесконечно малой. Произведение                     • 5 беско-

нечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая,

и предел ее при х —> оо равен нулю. Следовательно, lim          =

ж->-оо 4 X + 1

= 0.

б)         lim   In х = +оо.

х—Y+OC

в)         lim  ех = +оо.

х—>--ос

Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны.

с

Как уже было отмечено ранее, выражение - при с ф 0 можно считать равным оо:

Подпись:
с

Выражение - взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.

V Пример 5. Найти:

 

б) lim ctgx = lim C0SX = 1 = оо:

ж->0    ж->0 sin ж      )

в)    lim    tg х = lim Sm Ж

ж^тг/2+О        ж-И) COS Ж

= —оо. А

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |