Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

5.2.  раскрытие неопределенности вида -

Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения jj. В самом деле, пусть f(x) = х2, д(х) = хп, где п —

целое число. Частное этих функций f(x)/g(x) = х2~п при х —> 0 является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при п = 1), или 1 (при п = 2), или оо (при п = 4). Поэтому

выражение - и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:

 

 

0

0'

00

0 • оо,

оо — оо,

л оо

оо°,

0°.

00

 

 

 

 

 

 

Как для случая неопределенности вида -, встретившейся при

сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и д(х), а нужно учесть и закон их изменения.

Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.

2 х2 — х

V Пример 1. Найти lim —^  .

ж-ю Xі - 2х

Решение. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку

о

получается неопределенность вида -.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы

сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю.

Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на

нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргу-

мент х стремится к своему предельному значению, никогда не

принимая этого значения (вспомним, что в определении предела

по Коши ж G 0) U (0, 5)); поэтому до перехода к пределу

можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

х2-х      Л.    х(2х-1)           2х-1         1 1

пш —^                    = 11 г г і —        — = 11 г г і                = 11 г г і - = -. А

ж-^о х - 2х     ж-И) х [X -2)      ж^о х - 2     ж^о 2 2

 

х2 — 5 х + 6

V Пример 2. Найти lim

ж->з Зж2-9ж

Решение. Пределы числителя и знаменателя при ж —> 3 равны нулю:

lim (х2 - 5 х + 6) = З2 - 5 • 3 + 6 = О,

~2      n ,v.            о о2

Нт(ЗаГ-9 ж) = 3-3^-9-3 = 0.

Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле ах2 + Ьх + с = а(х — х) (х — #2), где х и Х2 — корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на (х — 3), получим

ж2-5ж + 6           (х-3)(х-2)           ж-2     3-2 1

lim       ^                      = пш    +^        —^ = lim                     =                      = -. А

ж->з  Зж -9ж      ж^з   Зж(ж-З)       ж->з  Зж       3-3 9

 

п тт     о тт      г          х3 - 1000

V         Пример 3. Найти lim —5      о          •

ж-ио х3 - 20 х2 + 100 ж

Решение.

00.

lim ж3 - 1000 _ (ж-10) (ж3+ 10 ж+ 100) _

ж-ио ж3 - 20 ж2 + 100 ж ~~ х-ио     х(х-Щ2 ~

_ х2 + 10х + 100 _ /300 _ ~~ ж ™о    х [х — 10)     ~~ ~0~) ~

 

V         Пример 4. Найти lim

ж-И) V5 - ж - л/5 + х

Решение. Пределы числителя и знаменателя при х —> 0 равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель л/5 — х + л/5~+~х и затем, сократив дробь на ж, получим:

ж

х          ж (л/5 — ж + л/5 + ж'

lim   ,   ,        = lim

-►о л/5 - ж - V5 + ж     ж^о (л/5 - х - л/5 + ж)(л/5   ж + У5 + ж)

ж (л/5 — ж + л/5 + х) л/5 — ж + л/5 + ж /-

= lim    = Inn   = —V5 .

ж->о    -2 ж     ж->о -2

4-х2

V Пример 5. Найти lim   .     .

х^2 УТТ^ - 3

Решение. Когда х —> 2, числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида -. Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:

4-х2     _     (4-x2)(VTT^ +3)

у/ТТх - з   (у/ТТх - з) (у/ТТх + з)

_ (4 - x2)(VTT^ +3) _ (2 - x) (2 + x) (y/TTx + 3)

7 + x - 9

= -(2 + x)(VTT^ +3).

Перейдя к пределу, получим

Подпись: 24 - х

lim       = - lim (2 + x) (V7T^ + 3) = -4 • 6 = -24. A

 

В предыдущих примерах неопределенность вида — раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. тт sin5x

Например, в случае предела lim                  неясно, как выделить

х->0 X

общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу

 

ж-И)   х V0

называемому 300 лет назад первым замечательным пределом.

sin ж

Доказательство равенства lim          = 1 нетрудно и опирается

х->0 X

на геометрические свойства тригонометрических функций. Здесь оно не приводится.

Заметим, что выражение - взято в скобки, поскольку писать jj = 1 нельзя! Скобки в записи ^jj^ подчеркивают ее условность. Равенство (jj j =1 означает, что в данном конкретном случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.

V         Пример 6. Найти lim S*n ^Х.

ж->0 х

Решение.

sin Ъх     /0     т    к   sin Ъх     „        sin Ъх     „   Л „

Inn       = І - I = lim 5 • —— = 5 • Inn —— = 5-1 = 5. а

ж->-0   х        /     ж-»>о       ох       5ж->-0 5ж

 

^ тт      ^  тт »      і-     1 — cos 10 х

V         Пример 7. Найти lim             ^          .

ж->0 ж2

Решение.

1 — cos 10 х     /0      2 sin2 Ъх

11111              =   I - I   =   11111

х-Ц-Ъ      х2    J    ж->о х2

= 2 • 25 • lim   = 50 • І2 = 50. А

5ж->0 (5ж)

Задача. Найти пределы, приведенные в примерах 6 и 7 с помощью принципа замены эквивалентных.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |