Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

5.3.  раскрытие неопределенности вида —

00

^ тт      -і    тт   «        г       2Ж5 + 10Ж

V Пример 1. Найти lim         5-.

Решение. При х —> оо числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем выражение оо/оо, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж4 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

2ж5 + 10ж      2х + 10/х3

Inn       j           =- = I mi —-—-j— =

ж^оо  §x  +X  x^oo    5 + 1/Ж

'2-oc + 10/oc3     /00 + О

1 — '   ' = 00.

5 + 1/00   J    ъ + о

 

2x100 + 10x

V Пример 2. Найти lim      1ПП     QQ .

Решение. При непосредственной подстановке символа оо вместо х получаем неопределенность вида оо/оо. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на ж100 (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

ж-

2 х100 + 10 х  2 + 10/ж"     2 + 0 2

lim ——гт^     птг = пні         - -

>оо 5ж100 + ж"     ж^оо   5 + 1/ж       5 + 0 5

(при ж ^ оо слагаемые 10/ж" и 1/х — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю). А

2 х10 + 10 х2

V Пример 3. Найти lim         Тл       

х^оо   5 х   + ж

Решение.

2 ж10+ 10 ж2     /оо            2/ж + 10/ж9     0 + 0     0 .

lim       Тл        ^— =   —   = lim —    =                      = - = 0. А

ж->оо  5ЖІІ + ЖУ       оо/     ж^оо   5 +1/хг       5+0 5

 

Вообще, предел отношения полиномов при х —> оо равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше зна-

менателя.

х +1 ж+3

V Пример 4. Найти   lim .

ж^+оо 2 X + 1

Решение.

2ж + 1/            ^^o2x + iy V2y

2 л/ж + 5 yfx

ш (л±1)« . (lim -±L)SS.& .(if. о.*

V Пример 5. Найти lim    .                „.         .

x^°° /3х - 2 + л/2 ж - З

Решение. В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция f(x) = ns/pn~{x) •) где Рп(х) — многочлен степени п, стремится к бесконечности так же, как и функция 1л/х™ . Это позволяет выделить высшую степень ж, входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень х. В данном примере надо делить на у/х; тогда получим

2л/ж + 5 \[х

lim

ж->°о л/3 ж - 2 + л/2

2 + 5/v^3         2 2л/3

= lim                = = -р- = —-—. А

ж-^ос     .                    3/         3        л/Ч 3

л/3 - 2/х + V(2^-3)/x2 Vt5

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |