Имя материала: Математика для социологов и экономистов Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов 5.4. раскрытие неопределенностей вида сх) — сх) и 0 осНеопределенности вида 0 • оо и оо — оо путем преобразова- 0 оо ния можно привести к неопределенности вида - или —, которая О оо раскрывается уже известными способами. Покажем на примерах, как находятся такие пределы. х2 V Пример 1. Найти lim яГ4оо х — 1 х2 — 1, Решение. Произведем вычитание дробей, получим , х х2 х (х +1) — х2 X пш ^ = пш —-—^— = lim ж—too у х — 1 х — 1 7 ж—>-оо х — 1 ж—>-оо х — 1
= lim —г^ = = 0. А х^ос 1 - 1/х2 1-0 V Пример 2. Найти lim (л/х2 + 6 х + 5 — ж) . Решение. lim ( ух2 + 6 ж + 5 — х ] = (оо — оо) = ж->-оо V / 4 ' i^s/х2 + 6х + 5 — • ^д/ж2 + 6х + 5 + x^j х^°° у/х2 + 6 х + 5 + ж ж2 + 6ж + 5 — ж2 ж2 + 6ж + 5 — ж2 = пш — = = lim
6 ж + 5 = 11 г г і ж^°° у/х2 + 6 х + 5 + ж л/і + б/ж + б/ж2 +1 VT + 1
V Пример 3. Найти lim (ж sin — ) . ж—>-оо х Решение. г 1 / ъ т. sin± /0 r sin у 1 lim х sin — = f оо • (J) = I mi —т^- = I - I = Inn = 1 ж—)>oc x x^oo _L V () / >-0 2/ ж (сделали замену у = —). А
Задача. Найти lim (1 — х) tg -—. ж—>4 2 Ответ: 2/7Г.
5.5. Раскрытие неопределенностей вида 1°°, оо° и 0° Рассмотрим последовательность {ап}, где ап= [1 + п, Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени п должно повлечь неограниченное возрастание целочис-( 1 V ленной функции ( 1 Н— I . Но рост показателя компенсируется
тем, что основание 1 + — стремится к 1. В результате последо- п вательность {ап} оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность име- ( 1 V ет конечный предел. Предел, к которому стремится 1 Н— , при п —> оо обозначается е : lim (l + = е. п^-оо у п ) Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно 2,71828: е « 2,71828.
Функция f(n) = I 1 Н— ) имеет пределом число е не только при целочисленных значениях п, но и тогда, когда п стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргумент п может принимать как положительные, так и отрицательные значения, лишь бы п неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отметить это обстоятельство, заменим букву п буквой х и напишем:
или короче
ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (1707-1783) — математик, механик и физик. Родился в Базеле, в Швейцарии, и учился там у Иоганна Бернулли. Он был членом Академий в Берлине и в Санкт-Петербурге, и прожил в России в совокупности 31 год. Был похоронен в Петербурге, оставив своей второй родине, наряду с выдающимися трудами, многочисленных потомков, представители которых носят и сегодня славную фамилию Эйлер в Петербурге и в Москве. Одной из отличительных сторон творчества Эйлера является его исключительная продуктивность. За первые 50 лет издательской деятельности Российской Академии наук (с 1729 до 1780 г.) Эйлеру принадлежит 60\% всех ее публикаций по чистой и прикладной математике. Последние 13 лет жизни он работал в полной слепоте, диктуя свои работы ученикам. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и тг). Сфера научных интересов Эйлера всеобъемлюща: его труды — это энциклопедия точных наук XVIII века. Свыше 800 его научных работ составят 72 больших тома все еще незавершенного «Полного собрания трудов», издаваемого в Швейцарии с 1911 г. Российской Академией наук учреждена золотая медаль имени Эйлера.
V Пример 1. Найти пределы:
ж-^0 Решение. a) lim + ж—)>ос у х J (I00) = lim (1 + -і- ж->-оо у x/b ) (ж/5)-5
1 5 (*/5)' = lim ж—>оо 1 + ж/5 lim 1 + ^7 = Є
/і б-(1/ж)-(2/2) 6)11т(1 + 2хр = (1»)=11т(1 + — 1/(2ж)" 10 = lim 1/(2ж)-Юо 1 + (2х)
1 Ю / ! 1/(2ж)" lim 1 + —— 1/(2ж)->оо V (2ж)
= е10. А
V Пример 2. Найти пределы:
ж->-оо 2х + 3 4ж+1
б) lim - ж—)>ос V 1 + Х Решение. 2ж — 1 а) При х —> оо основание степени стремится к единице, Ах ~~ о а показатель 4х + 1 стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1°°. Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины: 2х-1 2ж + 3-4 _ -4 2ж + 3 2ж + 3 2ж + 3' тогда
4ж+1
2ж+3 (~4)-(4ж+1) -4 ' (2ж+3) -16ж-4
-16ж-4 2ж+3 ™ 1+ (2ж + 3)/(-4) = Є
б) lim f-^-V = (І00) = lim f ж->-оо + ж/ ж->-оо у 1 + X
Неопределенности вида 1°°, оо° и 0° можно свести к неопределенности вида 0 • оо следующим образом: lim #(ж)-1п/(ж) 0 lim f(x)9^ = lim e2W-in/(*) = ex x—Ya ж—Yd
V Пример 3. Найти пределы: а) lim a^/fl"*); ж—>-+oo б) lim Ж3/0ПЖ). ж^+0 Решение.
— р ж —>--оо a) lim ж1/*1"*) = (оо°) = +~ 1пж
б) lim ж3/(1пж) = (0°) = еж^+0
Замечание. Для раскрытия неопределенностей иногда удобнее оказывается метод Лопиталя-Бернулли, основанный на использовании производной. Поэтому после изучения производной будут рассмотрены новые примеры вычисления пределов.
|
Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | |