Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

5.4.  раскрытие неопределенностей вида сх) — сх) и 0 ос

Неопределенности вида 0 • оо и оо — оо путем преобразова-

0 оо

ния можно привести к неопределенности вида - или —, которая

О оо

раскрывается уже известными способами.

Покажем на примерах, как находятся такие пределы.

х2

V Пример 1. Найти lim

яГ4оо х — 1     х2 — 1, Решение. Произведем вычитание дробей, получим

, х х2 х (х +1) — х2 X

пш       ^                      = пш —-—^—                       = lim

ж—too у х — 1      х   — 1 7 ж—>-оо        х   — 1 ж—>-оо х   — 1

= lim    —г^ =             = 0. А

х^ос 1 - 1/х2 1-0

V Пример 2. Найти lim (л/х2 + 6 х + 5 — ж) . Решение.

lim ( ух2 + 6 ж + 5 — х ] = (оо — оо) =

ж->-оо V         /       4 '

i^s/х2 + 6х + 5 —     • ^д/ж2 + 6х + 5 + x^j

х^°°     у/х2 + 6 х + 5 + ж

ж2 + 6ж + 5 — ж2     ж2 + 6ж + 5 — ж2

= пш —           =          = lim

6 ж + 5

= 11 г г і

ж^°° у/х2 + 6 х + 5 +

ж

л/і + б/ж + б/ж2 +1    VT + 1

V Пример 3. Найти lim (ж sin — ) .

ж—>-оо х

Решение.

г              1     /      ъ      т.     sin±       /0     r    sin у 1

lim х sin — = f оо • (J) = I mi —т^- = I - I = Inn      = 1

ж—)>oc           x                        x^oo    _L     V () /          >-0 2/

ж

(сделали замену у = —). А

Задача. Найти lim (1 — х) tg -—.

ж—>4 2

Ответ: 2/7Г.

5.5.  Раскрытие неопределенностей вида 1°°,  оо° и 0°

Рассмотрим последовательность {ап}, где ап= [1 +

п,

Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени п должно повлечь неограниченное возрастание целочис-(      1 V

ленной функции ( 1 Н— I . Но рост показателя компенсируется

тем, что основание 1 + — стремится к 1. В результате последо-

п

вательность {ап} оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность име-

(      1 V

ет конечный предел. Предел, к которому стремится 1 Н— , при п —> оо обозначается е :

lim (l +        = е.

п^-оо у        п )

Обозначением числа е и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно 2,71828:

е « 2,71828.

Функция f(n) = I 1 Н— )   имеет пределом число е не только

при целочисленных значениях п, но и тогда, когда п стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргумент п может принимать как положительные, так и

отрицательные значения, лишь бы п неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отметить это обстоятельство, заменим букву п буквой х и напишем:

или короче

ЭЙЛЕР (Euler) Леонард (1707-1783) — математик, механик и физик. Родился в Базеле, в Швейцарии, и учился там у Иоганна Бернулли. Он был членом Академий в Берлине и в Санкт-Петербурге, и прожил в России в совокупности 31 год. Был похоронен в Петербурге, оставив своей второй родине, наряду с выдающимися трудами, многочисленных потомков, представители которых носят и сегодня славную фамилию Эйлер в Петербурге и в Москве.

Одной из отличительных сторон творчества Эйлера является его исключительная продуктивность. За первые 50 лет издательской деятельности Российской Академии наук (с 1729 до 1780 г.) Эйлеру принадлежит 60\% всех ее публикаций по чистой и прикладной математике. Последние 13 лет жизни он работал в полной слепоте, диктуя свои работы ученикам. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (например, ему принадлежат обозначения для е и тг). Сфера научных интересов Эйлера всеобъемлюща: его труды — это энциклопедия точных наук XVIII века. Свыше 800 его научных работ составят 72 больших тома все еще незавершенного «Полного собрания трудов», издаваемого в Швейцарии с 1911 г.

Российской Академией наук учреждена золотая медаль имени Эйлера.

V Пример 1. Найти пределы:

lim (1 + 2ж)5/

ж-^0

Решение.

a) lim +

ж—)>ос у       х J (I00) = lim (1 + -і-

ж->-оо у x/b

)

(ж/5)-5

(*/5)'

1 5

(*/5)'

= lim

ж—>оо

1 +

ж/5

lim    1 + ^7

= Є

/і    б-(1/ж)-(2/2)

6)11т(1 + 2хр = (1»)=11т(1 + —

1/(2ж)"

10

= lim

1/(2ж)-Юо

1 +

(2х)

1 Ю

/           !   1/(2ж)"

lim       1 + ——

1/(2ж)->оо V (2ж)

= е10. А

V Пример 2. Найти пределы:

2х - 1

ж->-оо 2х + 3

4ж+1

б) lim -

ж—)>ос V 1

+ Х

Решение.

2ж — 1

а) При х —> оо основание степени                        стремится к единице,

Ах ~~ о

а показатель 4х + 1 стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида 1°°. Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:

2х-1     2ж + 3-4 _ -4

2ж + 3        2ж + 3

2ж + 3'

тогда

ж^-сю       2х + 3 = ж'Д^о 11 + (2ж + 3)/(-4)

4ж+1

2ж+3 (~4)-(4ж+1) -4  ' (2ж+3)

-16ж-4

(2х+3)/(-4У

-16ж-4 2ж+3

™ 1+ (2ж + 3)/(-4)

= Є

б)   lim f-^-V = (І00) = lim f

ж->-оо       + ж/           ж->-оо у

1 + X

Неопределенности вида 1°°, оо° и 0° можно свести к неопределенности вида 0 • оо следующим образом:

lim #(ж)-1п/(ж) 0

lim f(x)9^ = lim e2W-in/(*) = ex

x—Ya ж—Yd

V Пример 3. Найти пределы:

а)         lim a^/fl"*);

ж—>-+oo

б)         lim Ж3/0ПЖ).

ж^+0

Решение.

— р ж —>--оо

a)   lim  ж1/*1"*) = (оо°) =      +~ 1пж

б)  lim ж3/(1пж) = (0°) = еж^+0

Замечание. Для раскрытия неопределенностей иногда удобнее оказывается метод Лопиталя-Бернулли, основанный на использовании производной. Поэтому после изучения производной будут рассмотрены новые примеры вычисления пределов.