Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

6.2.  функции в экономике

В экономике многие зависимости могут быть заданы как функции одной переменной у = f(x).

Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качестве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции, имеющие смысл в некоторой области значений аргумента:

Функция спроса от цены товара. Обозначим через х цену товара, через у — спрос на товар. Тогда функцию спроса часто можно выразить аналитически (т. е. в виде формулы):

У = f{x).

Например,

200 -Зх У = —~,       У = е 6х. х + 2

Функция цены от спроса товара. Если х — спрос на товар, у — цена товара, то у = f(x). Например, у = Зж-0'8.

Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса, если цена — функция спроса.

Например, если х — спрос, цена        то выручка •

Суммарные издержки производства F и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) / — функции от объема производствах: F = F(x), f(x) = F(x)/x.

Например, F(x) = 5х + 300, f(x) = 5 + 300/ж.

Сумма денежного вклада в Сбербанке у — функция от времени х, которое хранится вклад: у = у(х).

Например, у = 100(1,03)ж.

Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

В некоторых экономических задачах, например, в задачах о денежных вкладах в Сбербанке, возникает необходимость рассчитать так называемые «сложные проценты».

Мы говорим, что имеем дело со сложными процентами в том случае, когда величина в конце каждого этапа времени испытывает изменение на определенное число процентов, причем каждый раз начисление процентов происходит по отношению к тому значению рассматриваемой величины, которое образовалось в конце предыдущего этапа времени.

Рассмотрим случай, когда в конце каждого этапа времени начисляется одно и тоже постоянное количество процентов р\%.

Некоторая величина Л, исходное значение которой Ло, в конце

Р          ( Р

первого этапа будет равна а = л0 + — л0 = л0 ( 1 + —

 

В конце второго этапа — а2 = а ^1 + j^J = Aq (^1 + -^^j .

В конце третьего этапа — Л3 = а2 ^1 + ^^ = Aq(^1 + и т. д.

Ясно, что в конце п-го этапа

А» = А^1 + ш."

Эта формула показывает, что величина А растет (или убывает, если р < 0) в геометрической прогрессии, первый член которой

р

равен Aq , а знаменатель — величина yl +

V         Пример 1. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 10 денежных единиц под сложный процент, ставка которого 3\% .

Решение. Зависимость суммы А от количества лет п, которое хранится вклад, первоначально равный Aq , определяется формулой

А = А0 (1 + 0,03)ж = Л0(1,03)ж. В данном случае А = 10 (1,03)3 = 10,91927 « 11 ден. ед. А

V         Пример 2. Вычислить, в какую сумму обратилась бы копейка в 2002 году, если бы ее положили в сберегательный банк в начале нашей эры под 5\% годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся и нет инфляции.

Решение. Согласно приведенной выше формуле

А = Ао(1 + 0,05)п = (1,05)2002.

К концу 2002 года копейка обратиться в (1,05)2002 копеек. 2 40 копеек — это приблизительно десять миллиардов рублей. Наша сумма, однако, в 2103 раза больше; точнее она выражается числом, состоящим из 49 цифр. Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара.

Этот результат показывает, что денежные реформы неизбежны. А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |