Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

6.5.  паутинообразная модель рынка и ряд

Будем предполагать, что производители зерна определяют предложение s (supply) товара в текущем периоде на основе цены р (price), установившейся в предшествующем периоде, а спрос d (demand) на товар изменяется в зависимости от цены в данном периоде. Предположение о запаздывании предложения от цены вполне объяснимо. Действительно, решение об объеме производства принимается с учетом текущих цен, но производственный цикл имеет определенную продолжительность, и соответствующее этому решению предложение появится на рынке по окончании данного цикла.

Если спрос и предложение линейно зависят от р, то динамика цены описывается следующими уравнениями:

 

s(t) = ap(t - 1) + b,       d(t) = -mp(t) + п.

 

Здесь n > b > 0, так как при нулевой цене спрос превышает предложение; а > 0, так как функция предложения возрастающая; т > 0, так как функция спроса убывающая.

Таким образом, если спрос s(t) равен предложению d(t), то получим следующее рекуррентное соотношение:

 

т т

п

Р(1) Р(2)

т

п — b т

Последовательно применяя это соотношение, находим: Ъ

-р(0);

771

 

т    т       т 1

1--) + [-) р(°);

р(3) =

т

т

і-- +  -) Р(0)

Выражение в квадратных скобках есть сумма первых t членов геометрической прогрессии:

 

St = l + q + q2 + ... + qt-1 = -1-^,

1-а где q = — —. Отсюда получаем выражение для цены p(t) в произвольный момент времени t :

ч     п - b   1 - ql ,   * /ГЛЧ

771      1 — Г/

Следовательно, динамика цен носит колебательный характер.

Пусть t     оо. Если q < 1, то  lim Sn = S = и

t^oc     1 — (J

, ,ч      n — 6      1        n — b p(t)

m     I — q     m + a

т. е. при £—>>oo и a/m < 1 равновесие устойчиво и цена стремится к своему равновесному значению

_     п — b

V = —— •

т + а

Если |<7| > 1, то p{t) -Л оо (равновесие неустойчиво). При q = 1, т. е. при а = т, значения чередуются вокруг равновесного значения р.

Заметим, что в реальности при — > 1 бесконечно возрастаю-

т

щих колебаний не происходит, так как при больших отклонениях от равновесия линейные зависимости спроса и предложения от цены становятся нереалистичными. В более реалистической нелинейной модели устанавливаются колебания большой, но конечной амплитуды.

Раздел II Дифференциальное исчисление

 

Там, где прежде были границы науки, там теперь ее центр.

Г. Лихтенберг

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |