Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 7 производная 7.1.  задачи, приводящие к понятию производной

1. Тангенс угла наклона касательной. Пусть дана непрерывная кривая у = f(x) и необходимо найти тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке М(#о, Уо)-

Прежде всего необходимо выяснить, что мы будем понимать под касательной к кривой. В школьном курсе касательную к окружности определяют как «прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку». Но это определение имеет частный характер, не вскрывая существа. В общем случае касательную нельзя определять как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, ось Оу имеет с кривой у = sin х общую точку, но не является касательной к ней. А прямая у = 1 имеет с той же кривой у = sin х бесконечное число общих точек, в которых она касается кривой. Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Дадим аргументу хо приращение Ах и перейдем на кривой у = f(x) от точки Мо(жо, Уо)) к точке Мі(хо + Дж, уо + Ay). Проведем секущую MqM (рис. 7.1). Когда М вдоль кривой будет перемещаться к точке Mq, секущая будет вращаться вокруг

Подпись:

 

s(t0)

 

As

 

s(t0 +А*)

тангенс угла наклона касательной

мгновенная скорость

Рис. 7.1. Задачи, приводящие к понятию производной

точки Мо и приближаться к некоторой прямой с углом наклона а. Эту прямую и называют касательной.

Таким образом, определение касательной в общем случае можно сформулировать следующим образом:

Касательной к кривой у = f(x) в точке Mq называется предельное положение секущей MqMi при приближении точки Ml к точке Mq, т. е. при Ах —> 0.

tg(p =

Тангенс угла наклона секущей может быть найден из прямоугольного треугольника MqMN как отношение противолежащего катета к прилежащему:

|Mi7V| _ Ay ~ Ах'

M0N

Тогда тангенс угла наклона касательной

Ау

tgce=  lim tg(£ =  lim -—.

АжчО АжчО Ах

 

2. Мгновенная скорость. Рассмотрим некоторое прямолинейное движение. Представим себе, что мы движемся по прямолинейной дороге, вдоль которой вместо километровых столбов проходит числовая ось. В нашем распоряжении имеется секундомер. По числовой оси мы в любой момент времени £, показанной секундомером, можем определить пройденный путь s. Таким образом, каждому значению t соответствует определенное значение 5, т. е. 5 является функцией £, что выражается с помощью уравнения движения

s = s(t).

Как понимать скорость точки в момент времени to? Математики XVII и XVIII вв. понимали ее как отношение мгновенного отрезка пути к мгновенному отрезку времени. Мгновенный отрезок они понимали не как переменную величину, а как постоянную величину — некоторое число. В результате часто возникало

0 і

«число» -, которое в одних случаях оказывалось равным 1, в

других — 2 или еще какому-либо числу. Это приводило к противоречиям и вместе с другими подобными противоречиями породило кризис математики, который был преодолен только с введением понятия предела и уточнением понятия функции. Сейчас под мгновенной скоростью понимается предел средней скорости, которая рассматривается как переменная от промежутка времени величина.

Дадим более подробное и точное определение мгновенной скорости.

К моменту времени to пройденный путь равен s(to), а к моменту to + At — «s(to + At). За промежуток времени At пройденный путь составит As = 5(to + At) — 5(to). Средняя скорость на промежутке As составит

- ^1 Vcp ~ At'

Чем меньше At, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент времени to- Поэтому скоростью точки в момент to называют предел средней скорости за промежуток от to до to + At, когда At —> 0, т. е.

 

г;(to) = lim vrr) = lim v uy    At^o   p    At^o At

 

Мгновенную скорость используют не только в физике. В социально-экономических задачах понятие мгновенной скорости используется при определении скорости роста объемов продукции, скорости распространения рекламы, скорости роста трудоспособного населения и т. п.

3. Производительность труда. Пусть функция Q(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент to-

За период времени от to до to + At количество произведенной продукции изменится от значения Q(to) до значения Q(to + At), т. е. на AQ = Q(to + At) — Q(to); тогда средняя производитель-

ность труда за этот период времени иср = Под производи-

тельностью труда в момент to естественно понимать предель-

ное значение средней производительности за период времени от to

до to + At при At —» 0, т. е.

 

u(to) = lim Qcv = lim

Таким образом, производительность труда роста объема продукции.

это скорость

4. Предельный продукт. Пусть функция Q(x) выражает зависимость количества произведенной продукции от величины затрат х.

AQ

есть средняя величина продукта, соответству-

Отношение

ющая величине затрат в размере Ах. Под предельным продуктом или маржинальным продуктом при затратах xq в экономике понимают следующий предел:

 

MQ(xo) = lim Qcv = lim

Аж^О Аж^О Ах

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |