Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

8.5.  производная функции, заданной параметрически

Плоские кривые часто задаются уравнениями вида х = ж(£), у = y(t), где переменная £, называемая параметром, пробегает некоторый промежуток значений Т. Чтобы построить кривую, заданную параметрически, нужно задать ряд значений параметра t по формулам х = x(t), у = y(t), вычислить соответствующие значения х и у, отметить полученные точки (ж, у) на координатной плоскости и соединить их плавной линией. Из курса геометрии известны параметрические уравнения окружности х2 + у2 =

2 2

= R   и эллипса —~ Л—т = 1, которые соответственно имеют вид а Ь

(х = R cost, (X = a cost, [у = R sin £,        [у = b sin t,

где t Є [0, 2тг].

Теорема 1. Пусть функции х = x(t), у = y(t) непрерывны на [се, /3], дифференцируемы в (се, /3), причем x'(t) сохраняет постоянный знак на этом интервале. Пусть далее [а, Ь] — область значений функции х = x(t). Тогда уравнения х = x(t), у = y(t) определяют непрерывную на [а, Ь] и дифференцируемую в (а, Ь) функцию у = у(х), причем

 

і = У ч

х Aty

□ По условию x'(t) сохраняет постоянный знак; пусть для определенности x'(t) > 0. Тогда функция x(t) монотонна и непрерывна на [се, /3]; значит, она обратима и производная обратной функции t(x) вычисляется по формуле t'(x) = 1/x'(t).

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции у = y(t(x)), получим

у'х = y't. t'x = y't ■ ± = Ш

 

V Пример 1. Найти производную функции, заданную параметрически: х = R cost, у = R sint, где t Є [0, 7г] (параметрические уравнения полуокружности радиуса R с центром в начале координат).

Решение.

//        y'(t)      (R sin tV         COS t   , ,

y'(x) = ^r-i = j- J-j =     :                 = -ctgt.

y v ;     x'(t)     (R cost)        sin* 5

Если необходимо выразить ответ с помощью переменной ж, то можно воспользоваться представлением t = t(x) = arccos (x/R):

 

ч       cost       cos (arccos (x/R))

у (ж) = ;                 =    j           =

sint        sin (arccos (x/R))

x/R

y/l - (x/R)2       y/R2 - x2 '

Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуокружности х2 + у2 = R2 у > 0:

2 — x2

У = VR2 - х2,       у' =        2 Х Х

2 y/R2 ~ х2 y/R-

V Пример 2. Найти производную функции, заданную параметрически: х = a cost, у = b sint, где t Є [0, тг] (параметрические уравнения полуэллипса).

Решение.

//      v'(t)     (b sint)'        b cost        b   , ,

y'(x) = ^4 = ^  J- =      :— = — ctg t.

x (t)     (a cos t)            a sin t a

Выразив t через ж, получим

і, ч        b cost        b cos (arccos (x/a))

у (x) = ;— =    -ґ         ——-f =

asm/;        a sin (arccos (x/a))

b x

a2 y/1 - (x/a)2        a ja2 _ x2 '

Полученный ответ в точности совпадает со значением производной, найденным непосредственно из уравнения полуэллип-

х2 у2 са — + -j = 1, где у > 0: а о

b   /—z            ~          /     b        —2х            b х

2 — х2

у = - л/а2 - х2 ,       у =

а   2 л/а2 - х2        а лД

В рассмотренных примерах показана связь производных функций, заданных явно и параметрически. В практических же задачах нет необходимости от представления y'{t) переходить к представлению у'{х). Параметрическое представление производной вполне достаточно. Оно позволяет строить график производной и изучить ее свойства. Заметим также, что обычное задание функции у = у(х) можно рассматривать как частный случай параметрического х = £, у = y(t).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |