Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

8.6.  производная неявной функции

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций и параметрических функций. Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением F(x,y) = 0. Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нет нужды искать явное выражение функции у = f(x); нужно просто продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от ж, а затем из полученного уравнения найти производную у'.

V Пример. Найти производную функции, заданную уравне-

2 2 x у

нием эллипса —~ Л—7 = 1.

а Ь

Решение. Дифференцируя обе части уравнения, находим: а о

отсюда у

=          2—• Это представление для у' совпадает с фор-

а у

мулой

У

<> = ±ь-.

а

найденной с помощью явного выражения функции. А

Производная высших порядков

До сих пор мы рассматривали производную ff(x) от функции f(x), так называемую производную первого порядка. Но производная f'(x) сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной п-го порядка называется производная от производной (п — 1)-го порядка. Обозначение производных: f"{x) — второго порядка или вторая производная, ffff(x) — третьего порядка или третья производная. Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f(nx), или fIV(x) и т. д.

Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s = s(t) (где s — путь, t — время), то s'(to) представляет скорость изменения пути в момент to - Следовательно, вторая производная пути во времени s"(to) = [V(to)]' — v'(to) есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент to-

Теорема о конечном приращении и ее следствия

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема в интервале (а, 6), то существует такая точка с Є (а, Ь), что

 

f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).

 

□ Через точки Л(а, f(a)) и B(b, f(b)) данной функции проведем секущую ЛВ (рис. 8.1). Угол, образуемый секущей ЛВ с осью Ох, обозначим через а. Тангенс угла в прямоугольном

Подпись:  а    с     Ь          а          с Ь

к теореме Лагранжа  к теореме Ролля

Рис. 8.1. Иллюстрации к теоремам Лагранжа и Ролля

треугольнике равен отношению катетов: противолежащего к прилежащему. Из треугольника ABN находим

tga =

BN f(b)-f(a)

AN

Будем перемещать секущую Л В параллельно начальному положению до тех пор, пока она не превратиться в касательную к графику функции у = f(x) в некоторой точке С(с, /(с)), где а < с < b (здесь опускается доказательство того факта, что такое предельное положение существует). Согласно построению и геометрическому смыслу производной tg а равен тангенсу угла наклона касательной /'(с), поэтому

№ - /(о) _ fl(A 6-а -J^C>i

а < с <

Отсюда /(6) - / (а) = /'(с) (Ь-а).Ш

Следствие 1. Если производная равна нулю в каждой точке некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная на этом промежутке.

□ Пусть f'(x) = 0 для всех х из данного промежутка. Если а их — две точки этого промежутка, то по доказанной теореме  f(x) — f(a) = /'(с) (х — а), а < с < х. Поскольку f'(c) =

О, то

/(я)-/(а)=0,    /(ж) =/(а) = const.

5 Я. М. Ахтямов

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором промежутке X, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.

□          Если fi(х) = /2(ж), х Є X, то

{h{x)-f2{x))' = f[{x)-f2{x) = 0.

В силу следствия 1

fi(x) — /2(2?) = const,      х Є X. Ш

Прежде чем переходить к формулировке следующей теоремы, напомним, что корнем (или нулем) функции у = f(x) называют такое значение ее аргумента, при котором функция обращается в нуль. Геометрически корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пересекает ось Ох или касается ее.

Теорема Рол ля. Между двумя различными корнями дифференцируемой функции содержится по меньшей мере один корень ее производной.

□          Пусть а и b — различные корни дифференцируемой функции, т. е. f(a) = 0, f(b) = 0. Из теоремы Лагранжа получаем

/'(с) (6-а) =0,       а <с<Ь.

Так как b — а ф 0 (корни различны), то f'(c) = 0. ■

Теорема Ролля имеет простую геометрическую интерпретацию. Между значениями а и b имеется по меньшей мере одно значение с, такое, что в точке С(с, f(c)) графика функции касательная параллельна оси Ох (рис. 8.1).

РОЛЛЬ (Rolle) Мишель (1652-1719) — французский математик, член Парижской Академии наук. В 23 года решил одну из задач, которую не смог до конца решить известный в то время математик Ж. Озанам. Впоследствии чисто алгебраическими средствами для случая многочлена доказал теорему, которая теперь носит его имя. Ролль долгое время критиковал анализ Р. Декарта и исчисление бесконечно малых Г. Лейбница. Хотя эта критика в большинстве случаев была бездоказательной, но она заставила Г. Лейбница внимательнее отнестись к обоснованию основ анализа.

Теорема Коши. Если у = f(x) и у = <р(х) — две функции непрерывные на отрезке [а, Ь] и дифференцируемые в интервале (а, 6), причем (р'(х) ф 0 для любого х Є (а, 6), то между а

и b найдется такая точка с, что

f(b)-f(a) = /'(с^ </?(&)-</? (а) <р'(с)'

Замечание. Знаменатель в левой части равенства отличен от нуля (допустив противное, т. е. (р(Ь) — ср(а), получили бы (р'(с) = 0, что противоречит условию), поэтому выражение в левой части равенства имеет смысл.

□ Введем в рассмотрение функцию

Р(*) = /(,)-/(.)-М^ И*)-*.».

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, во-первых, она дифференцируема в интервале (а, 6), так как дифференцируемы в нем функции f(x) и (р(х):

 

Во-вторых, F(x) непрерывна на отрезке [а, 6], поскольку непрерывны на нем функции f(x) и <р(х). В-третьих, на концах отрезка [а, Ь] функция F(x) обращается в нуль:

fw = /(.)-/<-)-   ш -„(.» = о,

f(») = /(4-«.)-M^M»)-rf.))=0.

Следовательно, между а и b найдется такая точка с, для которой F'(c) = О, т. е.

 

v '    <p(b)-<p(a) ГУ!

откуда

№ - f(a) _ Г (с) ш

(р(Ь)-(р(а) <р'(с)'

С помощью теоремы Коши может быть доказано важное правило, которое позволяет находить пределы дроби f(x) : у?(ж), числитель и знаменатель которой при х —> а стремятся к нулю или бесконечности.

Теорема (правило Лопиталя—Бернулли). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида (jj j или (—

то

 

БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Иоганн I (1667-1748) — швейцарский математик, иностранный почетный член Петербургской Академии наук (1725), профессор математики Гронингенского и Базельского университетов. Был деятельным соратником немецкого ученого Г. Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий. Он развил теорию показательной функции, вывел правило раскрытия неопределенностей типа - (носящее имя Лопиталя-Бернулли), указал методы

интегрирования рациональных дробей, вычисления площадей плоских кривых, дал определения понятия функции как аналитического выражения и др. В геометрии он дал определение пространственных координат, занимался различными специальными кривыми и др. Ему принадлежат также ценные работы по механике, в частности он дал весьма четкое понятие работы и для простейших случаев сформулировал так называемый «принцип виртуальных скоростей». Среди многочисленных учеников Иоганна Бернулли были такие известные математики как Л. Эйлер, маркиз де-Лопиталь и его сыновья Даниил, Иоганн II, Николай II.

 

ЛОПИТАЛЬ (Lhopital) Гийом Франсуа Антуан (1662-1704) — французский математик, член Парижской Академии наук. Родился в Париже. Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению — «Анализ бесконечно малых» (1696). В книге есть правило нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю. Это правило теперь называют его именем. Кроме того, он создал курс аналитической геометрии конических сечений. Ему также принадлежит исследование и решение с помощью математического анализа нескольких трудных задач по геометрии и механике.

□ Для простоты рассмотрим доказательство теоремы в случае, когда функции f(x) и (р(х) дифференцируемы в окрестности точки х = а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения f'(x) : <р'(х) при х а.

Пусть точка х ф а принадлежит интервалу, в котором функции дифференцируемы. По теореме Коши

f(x)-f(a) _ f'(c) <р(х)-<р(а) <р'(с)' где с лежит между х и а.

По условию f(a) = у? (а), поэтому

№ = Пс)^

<р(х) <р'(с)'

Если х —> а, то с —> а, так как с заключено между х и а. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем

г /(*) г /'(с) r f'(x) ш lim ^4 = lim ^4 = lim ■

х-¥а (рух)      с^а ер ус)      х-¥а ер ух) sin 2х

V Пример 1. Найти lim         :—.

ж->-0 бх — sin х

Решение. При х = О числитель и знаменатель обращаются в нуль, имеем неопределенность вида ^jj^. Применяя правило Лопиталя-Бернулли, получим:

ж-

sin2x        /0     le (sin2x)/

lim       — = I - I = lim —

-+0 Зх — sin ж     /     ж-И) (Зж — sin х)'

2 cos2x 2

= lim                =          = 1. А

ж-^о 3 — cos х     3 — 1

In ж

V Пример 2. Найти   lim ——, где п — натуральное число.

ж->-+оо х

I оо

Решение. Имеем неопределенность вида    — ). Применяя

оо '

правило Лопиталя-Бернулли, получим:

In ж     /ос       Л.      (In ж)'

lim       = I — ) =   11111 =

 

ж 1

=   lim —т =   lim                   = 0.

ж^+оопж        ж-^+ос п x

Этот пример показывает, что при возрастании х логарифмическая функция растет медленнее степенной функции. А

Правило Лопиталя-Бернулли при выполнении соответствующих условий можно применять несколько раз.

хп

V Пример 3. Найти   lim —-, где п — натуральное число.

х-ї+оо Є

Решение. Применяя правило Лопиталя-Бернулли п раз, получим:

хп      /ос                пхп~х /ОС

lim   -— = ( — ) =   пт            — = ( — ) =

ж->-+оо е        V ОО /      ж->-+оо     е         V оо /

= пт п(п-;)ж""2 = и=...=

ж->-+оо          е          V ОО /

п (п — 1)...1

=   lim —^       -1               = 0. А

ж->-+оо е

 

Как мы уже отмечали ранее, неопределенности 0 • оо, оо — оо,

1°°, 0°, оо° можно свести к неопределенностям -, —.

0 оо

2

V Пример 4. Найти lim Xх-1.

ж->4

Решение. Это неопределенность вида 1°°.

о          о          і-      2 In х

2          |        2 hm ——г-

lim жж-! = lim e     ж-! = ех^г x

ж->4 ж->4

Поскольку

2

ж ТО

lim ^       = ( - ) = lim     ^n ж) — fun       _ 2

z-H    - 1      у     ж->і (ж - 1)      ж->1 1

_JL_ 2

lim ж ж-1 = с . А

ж->4

 

8.9.  Формула Тейлора

Мы уже знакомились (правда, не в такой форме) с соотношением

ОО j

1 + х + х2 + ... = V/ = .

п          1 - Х

Оно означает, что геометрический ряд сходится, если |ж| < 1, и его сумма равна    —• Говорят также, что функция f(x) = —

оо

в интервале ( — 1, 1) разлагается в ряд ^ хп.

п=0

Ряд более общего вида

оо

С0 + С X + С2 х2 + ... = ^2 Сп хп

п=0

называется степенным рядом (с центром в нуле). А ряд вида

оо

с0 + с [х - а) + с2 (х - а)2 + ... = ^ сп (х - а)п

п=0

называется степенным рядом (с центром в точке а). Название объясняется тем, что члены ряда являются степенями х.

Областью сходимости степенного ряда называется множество, состоящее из всех тех ж, для которых сходится соответствующий числовой ряд.

Во многих случаях бывает сложно определить значения функций, соответствующие значениям независимой переменной. Эта задача облегчается при записи функций в виде так называемых степенных рядов Тейлора.

Например, возьмем многочлен

f(x) = с0 + с х + с2 х2 + с3 ж3,        (8.3)

где со, сі, С2, сз — постоянные. Вычислим производные

f'(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2,      (8.4)

/"(я) = 2с2 + 6с3я,       (8.5)

/'"(*) = 6с3.     (8.6)

Если в выражения (8.3)-(8.6) подставить х = 0, получим

откуда

со =

/(0) = со, /'(0) = сі = 1!-сі, /"(0) = 2с2 = 1-2-С2 = 2!-С2, /'"(0) = 6сз = 1-2-3-сз = 3!-с3,

 

до, С1 = т, » = q>, C3 = q>.

Подставляя эти значения в выражение (8.3), получаем

}{x) = m+mx+qix^mxK

Аналогично можно получить разложение многочлена

f(x) = С0 + С1(х-а) + С2 (х - а)2 + С3(х- а)3 :

f(x) = f(a) + ^(x-a) + ^(x-a)* + q?±(x-a)

Действуя таким же образом, можно любой многочлен n-й степени записать в виде

 

f(x) = f(a) +        (х - а) +        (х - а)2 + ...

... + ^Р-(х-а)п. (8.7)

Выражение (8.7) называется рядом Тейлора.

ТЕЙЛОР (Taylor) Брук (1685-1731) — английский математик, член Лондонского королевского общества. Получил общую формулу разложения функций в степенной ряд, положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны. Он автор работ о полете снарядов, взаимодействии магнитов, центре качания, перспективе и др. К концу жизни занимался вопросами философии.

Подставляя в выражение (8.7) а = О, получаем частный случай ряда Тейлора для многочленов:

f(x) = m + tmx+mx<+...+tMx«. (м)

 

V Пример 1 (бином Ньютона). Разложить функцию f(x) = (а + х)т в ряд Тейлора.

Решение. Согласно (8.8) имеем:

(в+іГ=/(о)+шІ+айи+...+^х-

Последовательно дифференцируя / (ж) = (а + х)т, находим: f(x) = (а + х)т,  f{k){x) = т(т - 1)...(га -(к- 1))(а + х)т~к,

/(0) = ага,        /(*)(0) = т (т - 1) ... (т — (к — 1)) ат~к,

где к = 1, 2, ... , т.

Откуда вытекает биномиальная формула Ньютона:

(а + х)т = ат + т а171-1 х + Ш        1} ат~2 х2 + ... + хт

 

(ее называют также биномом Ньютона). В частности, при а = 1 получаем:

/ч        т                        т (т — 1)    о т

(1 + х)т = 1 +       + ^  }-х2 + ... + хт,

(1 + х)7 = 1 + 7 х + 21 х2 + 35 Xs + 35 х4 + 21 хъ + 7 х6 + х7. А

 

Формулу Тейлора можно распространить на функции, не являющиеся многочленами. Можно доказать следующую теорему.

Теорема. Если функция f(x) имеет в интервале (а, Ь) производные до п-го порядка включительно, то

f(x) = /(а) + 1М(х-а) + ^(х-а)х2 + ...+

+ 7^(ж_а)   +^г1(ж_аГ' (8-9)

где а < с < Ь.

Это формула Тейлора для произвольной функции. Она отличается от формулы Тейлора для многочленов (8.7) только последним слагаемым. При разложении многочлена в последнем слагаемом имеет место f(n^(a), а при разложении произвольной

функции имеет место f(nc).

Это последнее слагаемое в разложении произвольной функции называют остатком ряда.

Если в формуле (8.9) принять а = О, то получаем следующую часто используемую формулу:

Подпись: /'(0)„ ,      , /(п~1}(0) „„-і , fM(c) (п-1)!

/(*) = /(о) + ^уг х + - + V^T)! х    + х'

где 0 < с < Ъ. х Є X.

Формула Тейлора имеет важное значение для многих задач математического анализа. Так, сложные функции посредством этой формулы можно с большой точностью заменить многочленом, т. е. более простой функцией. Кроме того, эта формула позволяют рассчитать приблизительные значения функций.

V Пример 2. С помощью формулы Тейлора разложить функцию ех в степенной ряд.

Решение. Поскольку

f(x) = ex,   f'(x) = ex,  f^x) = ex,   /<">(*) = е*,

/(0) = 1,     /'(0) = 1,     /<»-1)(0) = 1,     /("'(с) = ес,

то разложение функции f(x) = ех в ряд Тейлора имеет следующий вид:

ех = 1 + -х + ^-х2 + ...+     1     x(n-V + -}хп.

1!       2!           (п - 1)! п!

Примем без доказательства, что

-хп ^0 п!

при п     оо. Тогда

еЖ = 1 + Т!Ж + ^!ж2 + -+(^Т)!ж(П"1)

Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других функций.

Задача. Разложить в степенной ряд функции:

sinx,       cos х,       1п(1 + ж),       (1 + х)т.

Ответ:

smx = х ___ + __ + ... + (2п_1}! + ... (-00 < х < оо),

cos* = 1 - - + - - ... +    (2п)!    + ...     (-оо < х < оо),

гЛ       ~3        /і п п+1

1п(1 + х) = х - Х- + Х- - ... + ( '>+     + ...      (-К х < 1),

(1 + ЖГ = 1 + тЖ + ... + т(то-1)(7-П + 1) +

п!

(-К ж < 1).

Последний ряд называется биномиальным. Если m — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона. Действительно, т — п + 1 = 0 при п = т + 1.

Поэтому п-й член ряда и все последующие равны нулю, т. е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

Замечание. Основываясь на своем ограниченном опыте, математики XVIII века не сомневались в том, что всякая непрерывная функция разлагается в бесконечный ряд Тейлора. Лишь позже в XIX веке Коши дал первый пример функции, которая хотя и является непрерывной и обладает в точке х = а всеми производными, но не разлагается в ряд по степеням (х — а). Эта функция задается формулой f(x) = е_1/ж при добавочном условии /(0) = = 0 (при х = 0 формула теряет смысл). Функция f(x) имеет в точке х = 0 производные любого порядка. Все они равны нулю в этой точке, так что ряд Тейлора тождественно равен нулю. Однако f(x) нигде, кроме точки х = 0, не обращается в нуль.

Коши показал также, что функция разлагается в ряд Тейлора только в том случае, если остаток ряда стремится к нулю при п —> оо, в противном случае не разлагается.

Следует помнить, что в каком-то смысле высшая математика проще элементарной. Исследовать, например, лесную чащу пешком очень трудно, с самолета это делается проще.

У. Сойер (английский математик и педагог)

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |