Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

9.2.  экстремум функции

Говорят, что функция f(x) имеет в точке хо строгий локальный максимум (минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (жо — 3, xq + 6), содержащейся на промежутке, где задана функция, что для всех ее точек х выполняется строгое неравенство

/(ж) < f(x0)      (или /(ж) > /Ы).

Иными словами, точка xq доставляет функции f(x) строгий локальный максимум (минимум), если значение f(xo) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что само определение строгого локального максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от

точки Xq.

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при х = xq) выполняется нестрогое неравенство

f(x) ^ f(x0)       (или f(x) ^ /(жо)),

то говорят, что функция имеет в точке xq нестрогий локальный максимум (минимум).

По-латыни слова maximum и minimum означают «наибольшее» и «наименьшее» (значение).

Если функция имеет строгие локальные максимумы в точках жо и жі, то наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке Х2 между xq и х и имеет там строгий локальный минимум. Аналогично между двумя строгими локальными минимумами непременно найдется строгий локальный максимум. В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число строгих локальных максимумов и минимумов, они попросту чередуются. На графике функции (как, например, на графике функции sin ж, 0 ^ х ^ 6 7г) им соответствуют характерные горбы и впадины.

Наличие локального экстремума функции при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что строгий локальный минимум функции может быть больше строгого локального максимума, — подобно тому как впадина в горах может быть выше, чем небольшая вершина. В отличие от строгого локального максимума (минимума) существует еще понятие строгого глобального максимума (минимума) на некотором множестве. Естесственно, что строгий глобальный максимум больше всех остальных значений значений функции на данном множестве (в том числе и дальних), а строгий глобальный минимум — меньше. В географических горных терминах строгий глобальный максимум — это наивысшая точка, а глобальный — самая низкая.

Заметим, что когда нет надобности акцентировать внимание на том, является ли максимум (минимум) строгим или нестрогим, локальным или глобальным, соответствующие прилагательные опускают. Для максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум. Латинское extremum означает «крайнее» (значение). Экстремумы также разделяются на строгие и нестрогие, локальные и глобальные.

Те значения аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для функции f(x) в промежутке X существует конечная производная. Если в точке ж о функция имеет экстремум, то ff(xo) = 0:

Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифференцируемой функции производная ее равна нулю.

□ Пусть хо — точка экстремума дифференцируемой функции у = /(ж). Для определенности предположим, что хо — точка нестрого локального максимума, тогда /(жо) ^ f(xo + Лж) при достаточно малых Ах. Отсюда

Ах

f(x0 + Ax)-f(x0)

f(xo + Ax)—f(xo) ^ „ л

             ^ U     при достаточно малых Ах > U,

^ 0     при достаточно малых Ах < 0.

Ах

Переходя к пределу, получаем

f'(x0) = Пт /(*о + А*)-/(хо) ^ 0          Ах > 0

J v   J    Дж-ю Ах

w/   ч      r     f(xo + Ах) - f(x0) . Л     д ^п

/ (жо) = пт —  it1        —- ^ 0       ПРИ Ах < 0.

J v    J    Дж-Ю           Ах v

Поскольку /7(жо) является числом, не зависящим от способа стремления Аж к нулю, два последних соотношения совместимы лишь в том случае, когда

/'Ы = о.

Аналогично доказывается теорема для случая, когда xq — точка нестрого локального минимума функции. Теорема верна и в случае строгого экстремума. При доказательстве используется тот факт, что строгое неравенство в пределе переходит в нестрогое. ■

Таким образом, экстремум дифференцируемой функции следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными.

По латыни слово stationnare означает «стоящий», «неподвижный». Это название вполне оправдано. Представим себе график дифференцируемой функции в виде твердой поверхности и шарик, помещенный на какую-либо его точку.

Если шарик поместить точно на стационарную точку и не двигать его, то он останется на месте (будет «стоящим», «неподвижным»), поскольку касательная к графику в стационарной точке горизонтальна: f'(x) = tga = 0.

Если же шарик находится на точке графика функции, в которой производная положительна (отрицательна), то шарик покатится, поскольку касательная к графику функции имеет в этой точке наклон

f'(x)=tga>0      (/'(:r) = tga<0).

На рис. 9.3 изображены стационарные точки, а на рис. 9.4 — нестационарные.

Не следует думать, что каждая стационарная точка доставляет экстремум: указанное необходимое условие не является достаточным.

Например, для функции f(x) = х3 производная Зж2 обращается в нуль при х = 0, но в этой точке, как мы уже видели из рис. 9.2, функция х3 не имеет экстремума: она все время возрастает.

Если расширить класс рассматриваемых функций и допустить, что в отдельных точках производная равна бесконечности или вовсе не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек. На рис. 9.5 изображены подобные возможности. Например, функция д(х) = = ж2/3, очевидно, имеет строгий минимум при х = 0 (рис. 9.5),

в то время как производная ее - ж-1/3 равна бесконечности в

о

этой точке, точно так же в точке х = 0 имеет строгий минимум

Рис. 9.4. Нестационарные точки

Подпись:  Подпись:
</(0) = оо        ^(О) не существует

Рис. 9.5. Минимум функции в точке х = О

функция <р(х) = хотя производной для нее в этой точке вовсе нет.

Следовательно, и точки, в которых производная бесконечна или не существует, также могут доставлять функции экстремум. Стационарные точки, а также точки, в которой функция имеет бесконечную производную или в которой производная не существует, называются критическими. Из сказанного следует, что точки экстремума для расширенного класса функций следует искать среди критических точек.

Геометрически это означает, что точки экстремума следует искать в тех точках, где касательная горизонтальна (у1 = 0), вертикальна (у1 = оо) или не существует (нет производной).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |