Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

9.3. достаточные условия существования экстремума

Итак, если точка жо есть критическая точка для функции /(ж), то точка хо представляется, так сказать, лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит в проверке достоверных условий для существования экстремума. В этом параграфе рассматриваются три правила для испытания «подозрительного» значения xq.

Теорема 1 (первое правило). Пусть функция у = f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку xq, и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой точки xq.

Если при переходе аргумента слева направо через точку xq производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то функция f(x) в этой точке имеет строгий локальный максимум.

Если при переходе через точку xq производная f'(x) меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке строгий локальный минимум.

Если при переходе через точку xq производная f'(x) сохраняет постоянный знак, то функция не имеет строгого локального экстремума.

□ Пусть xq — критическая точка и при переходе аргумента через точку xq знак производной изменяется с плюса на минус. Из достаточных условий монотонности функции следует, что на интервале (жо — Ах, xq), Аж > 0, функция строго возрастает, а на (жо, xq + Аж), Аж > 0, строго убывает. Следовательно, в точке ж = жо значения функции / (ж) больше, чем ее значения во всех точках интервала (жо — Аж, жо + Аж), а это означает, что в точке жо функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Докажем третью часть теоремы.

Пусть производная при переходе через точку жо сохраняет знак плюс, т. е.

/'(ж) > 0,          при Жо — Є < x < Xq + Є,   x ф Xq.

Отсюда и из теоремы о достаточном условии строгой монотонности функции следует, что функция строго возрастает как на отрезке [xq — є, жо], так и на отрезке [жо, хо + є]. Следовательно, функция не имеет ни максимума, ни минимума при х = xq.

Третья часть теоремы в случае, когда производная при переходе через точку жо сохраняет знак минус, доказывается точно так же. ■

Таким образом, первое правило для испытания «подозрительного» значения жо таково: подставляется в выражение для производной /'(ж) сначала ж < жо, а затем ж > жо; устанавливается знак вблизи от точки жо слева и справа от нее; если при этом производная /'(ж) меняет знак плюс на минус, то в точке жо — максимум; если производная /'(ж) меняет знак минуса на плюс, то — минимум; если же производная знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

V Пример 1. Даны функции:

1)3/=

х2;

2)3/ =

 

3)У =

N;

4)у =

ж3.

Для всех четырех функций точка ж = 0 является критической: в первом и четвертом случаях производная в точке ж = 0 обращается в нуль, во втором — равна бесконечности, в третьем — не существует. Используя первое правило, исследовать критическую точку ж = 0 на экстремум.

Решение. Все четыре функции непрерывны на числовой оси. Производные функций у = ж2, у = ж2/3 и у = |ж| меняют знак при переходе через точку ж = 0 с минуса на плюс. Это означает, что критическая точка ж = 0 является для этих функций точкой строгого локального минимума. Функция у = ж3 при переходе через точку ж = 0 сохраняет положительное значение производной. Следовательно, для функции у = ж3 точка ж = 0 не является точкой экстремума. А

V Пример 2. Исследовать на экстремум функцию /(ж) = = ж3-3ж.

Решение. Находим производную функции

/'(ж) = 3 ж2 - 3 = 3 (ж + 1) (ж - 1).

Приравняв производную нулю, находим стационарные точки жі = — 1, Ж2 = 1. В данном случае производная определена всюду. Значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет. При переходе через точку ж = — 1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 1 — с минуса на плюс. Следовательно, в точке х = — 1 функция имеет строгий локальный максимум, а в точке х = 1 — строгий локальный минимум. А

При разыскании экстремумов исследование знака производной вблизи испытуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной в самой точке. На этом основано второе правило.

Теорема 2 (второе правило). Если функция у = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки xq и

f'(x0) = 0,      f"(x0) ф О,

то в этой точке f(x) имеет строгий локальный экстремум; а именно: если f"(xo) > О, то /(жо) ~~ строгий локальный минимум функции /(ж), и если f"(xo) < О, то /(жо) ~~ строгий локальный максимум функции f(x).

□ Пусть f'(xo) = 0. Допустим, что f"(xo) > 0. Это означает, что в окрестности критической точки xq производная ff(x) строго возрастает. Но f'(xo) = 0, поэтому f'(x) < 0 при х < жо, а при ж > жо имеем /'(ж) > 0. Производная /'(ж) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, если в критической точке //7(жо) > > 0, то функция имеет строгий минимум.

Если //7(жо) < 0, то это означает, что в окрестности критической точки жо производная /'(ж) строго убывает. Но /7(жо) = 0, поэтому /'(ж) > 0 при ж < жо, f'{x) < 0 при ж > жо- Производная /'(ж) меняет знак с плюса на минус. Значит, если в критической точке //7(жо) < 0, то функция имеет строгий максимум. ■

Таким образом, второе правило для испытания «подозрительного» значения жо состоит в следующем: подставляем жо во вторую производную //7(ж); если //7(жо) > 0, то функция имеет минимум, если же //7(жо) < 0, то — максимум.

На рис. 9.6 х) изображены «личики», которые помогут запомнить второе правило.

Два знака (глаза) личика напоминают, что второе исходит из знака второй, а не первой производной. Конфигурация рта,

г) Рисунок заимствован из книги [38].

ГЫ > о            /"(Жо) < о

 

характеризующая улыбку или грусть, означает минимум или максимум функции в стационарной точке.

Первое личико — это «рисунок» первого утверждения правила. Если глаза личика блестят (+ +), то оно улыбается. Значит, если знак второй производной плюс, то стационарная точка является точкой строгого локального минимума.

Вторая рожица — это «рисунок» второго утверждения теоремы. Если глаза личика не блестят (— —), то оно грустит. Значит, если знак второй производной минус, то стационарная точка является точкой строго локального максимума.

V Пример 3. Используя второе правило, исследовать критическую точку х = 0 для функций из примера 1 на экстремум.

Решение. Для первой функции из этого примера имеем: у = = ж2, у' = 2 ж, у" = 2 > 0. Следовательно, в точке х = 0 — строгий локальный минимум.

Для второй и третьей функций критическая точка х = 0 не является стационарной, поскольку производные в нуле не равны нулю. Таким образом, второе правило не применимо для второй и третьей функций из примера 1.

Для четвертой функции точка х = 0 является стационарной, однако вторая производная в ней обращается в нуль, что не позволят применить второе правило для исследования этой функции на экстремум. А

Таким образом, второе правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения, чем первое; оно, например, явно непри-ложимо к тем точкам, где не существует конечной производной (ибо там и речи быть не может о второй). В тех случаях, когда вторая производная обращается в нуль, правило также ничего не дает.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |