Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

Глава 10 применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере 10.1.  предельные величины в экономике

Теоретический анализ разнообразных явлений экономики использует ряд предельных величин. Перечислим лишь некоторые из них: предельная стоимость, предельные издержки, предельный доход, предельная производительность, предельная полезность, предельная склонность к потреблению. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. В качестве характерного примера рассмотрим предельные издержки.

Пусть у(х) — затраты на изготовление х экземпляров некоторого продукта. Тогда у'(х) выражает скорость изменения затрат при изменении количества продукта. Эта производная называется предельной (маржинальной) стоимостью.

Согласно определению производной имеем:

// =  11 г г і -—.

Дж->о Ах

Следовательно, можно считать, что производная у'(х) прибли-

Ау       д -til

женно равна отношению д—. Положим Ах = 1. На практике

обычно х — очень большое число, так что 1 мала по сравнению с х. Откуда

ч     Ау     у(х + Ах) — у(х)       ,      ^ч      , ч

У(х) ~      =     Ад       = у(х + !) - у№-

Разность у(х + 1) — у(х) выражает на сколько изменились затраты (издержки) при изготовлении еще одного экземпляра продукции. Поэтому экономисты определяют предельные издержки yf(x) так же, как затраты на изготовление еще одного экземпляра продукции.

V         Пример 1. Зависимость между издержками продукции у и объемом выпускаемой продукции х на предприятии выражается функцией у = 10х + 50. Определить предельные издержки при объеме продукции х = 100 единиц.

Решение. Предельные издержки выражаются производной у'{х). При х = 100 предельные издержки составят у'(100) = = 10. Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпущенной продукции 100 единиц) на выпуск единицы дополнительной продукции необходимы дополнительные затраты в 10 денежных единиц. Действительно, затраты на выпуск сто первой единицы продукции можно подсчитать и по другому:

2/(101) - 2/(100) = 10 • 101 + 50 - 10 • 100 - 50 = 10.

Для нашей конкретной задачи (т. е. в случае, когда у является линейной функцией от переменной х) разность у(х + 1) — у(х) совпадает со значением производной у7 (100). В общем же случае (когда функция у(х) может быть нелинейной) при больших х разность у(х + 1) — у (х) совпадает с у'{х) лишь приближенно. А

V         Пример 2. Зависимость издержек производства одного из предприятий от объема выпускаемой продукции х выражается формулой

у{х) =40 х -0,03 х3.

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции х = 15 ден. ед.

Решение. Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле у = уIх, или в нашем случае

у(х) = 40 - 0,03 ж2,

откуда

у(15) = 40 - 0,038225 • 152 = 33,25 ден. ед. Предельные издержки у1 определяются по формуле у'{х) = 40 - 0,09 ж2, откуда при х = 15 получаем у'(15) = 19,75 ден. ед.

Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25 ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы продукции составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек. А

Как видим, предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, предельная величина выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).

Помимо предельных издержек с помощью производной могут быть определены предельный доход, предельная стоимость, предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность ресурса и другие предельные величины.

В экономической теории предельные (маржинальные) величины у'(х) принято обозначать через Му(х). Буква М — первая буква английского слова marginal — «маржинальный» (переводится на русский язык словом «предельный»).

Определение предельных величин с помощью понятия производной позволяет использовать математический аппарат для доказательства экономических законов. Рассмотрим некоторые применения дифференциального исчисления в экономической теории.

Пусть х — количество реализованного товара, R(x) — функция дохода, С(х) — функция издержек (затрат на производство товара). Вид этих функций зависит от способа производства, оптимизации инфраструктуры и т. п. Обозначим функцию прибыли за П(ж). Тогда

П(х) = R(x) - С(х).

Очевидно, оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т. е. такое значение выпуска ж, при котором функция П(х) имеет максимум. По теореме Ферма в этой точке

П'(х) = 0.

Но П'(х) = R'(x) - С'(х). Поэтому R'(x) = С'(х), т.е. если уровень выпуска х является оптимальным для производителя, то МR(x) = МС(х), где MR(x) — предельный доход, а МС(х) — предельные издержки.

Получили известное в микроэкономике утверждение:

Для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны.

Использование в конце XIX в. предельных (маржинальных) величин полностью изменило способы анализа и предмет экономической теории. Экономисты для вывода экономических законов стали охотно прибегать к математическим доказательствам. Произошедшие в результате этого изменения были столь значительны, что их впоследствиии назвали маржиналистской революцией.

V         Пример 3 (Максимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается фор-

х3

мулой R(x) = — + 2000000 ж, а функция затрат на производство о

товара — формулой С(х) = 1500ж2. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.

Решение. Прибыль определяется формулой Щх) = R(x) - С(х),

откуда

х3

Щх) = — - 1500 х2 + 2000000 х.

о

Приравнивая производную прибыли

П'(х) = х2 - 3000 х + 2000000

нулю, получаем уравнение

х2 - 3000 х + 2000000 = 0.

Корни этого уравнения х = 1000, х<х = 2000. Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при х = 1000:

Птах = П(1000) « 833 333 333 ден. ед. А

 

V         Пример 4 (Оптимизация прибыли). Пусть функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х х , а функция затрат на производство товара—формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень производства и прибыль, которая при этом достигается.

Решение. Прибыль определяется формулой Щх) = R(x) - С(х),

откуда

Щх) = 16 ж -2х2 -1.

Приравнивая производную прибыли П'(х) = 16 — 4 ж нулю, получаем х = 4. Проверка показывает, что эта точка является точкой максимума. Таким образом, оптимальный уровень производства х = 4. При этом значении максимальная прибыль составит Птах = 31. А

V Пример 5 (Оптимизация налогообложения предприятий х) ). Пусть, как и в предыдущем примере, функция дохода от количества реализованного товара х выражается формулой R(x) = 16 х х2, а функция затрат на производство товара—формулой С(х) = х2 + 1. Определить оптимальный уровень налога с единицы реализованного товара и прибыль предприятия, которая при этом достигается.

Решение. Пусть t (tax) — налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с х единиц продукции составит Т = = tx. В этом случае функция прибыли будет иметь вид

Щх) = R(x)-C(x)-tx.

Требуется определить: каким должен быть налог £, чтобы величина суммарного налога Т со всей продукции была наибольшей?

Поскольку R(x) = 16 х х , а С(х) = х2 + 1, то функция прибыли имеет вид

Щх) = 16х-2х2 -tx-1.

Как и в предыдущем примере, условие максимума прибыли П'(х) = 0; отсюда получаем значение ж, максимизирующего прибыль с учетом пока неизвестного налога t:

16-4ж-£ = 0,       ж = 4-</4.

Подставим полученное значение объема продукции в величину суммарного налога Т = tx. Получим

Т = * (4 — 4/4).

х) Пример взят из книги [19, с. 131].

Найдем теперь условия, при которых величина Т будет максимальной:

T = t(4-t/A),

T'(t) = О,   =>.    t = 8.

Далее, при t = 8 имеем ж = 4 — £/4 = 4 — 8/4 = 2. Отсюда следует, что при налоге t = 8 максимальная величина прибыли достигается при х = 2:

Птах = П(2) = 16-2-222 -8-2-l = 7,

а оптимальный (с точки зрения налоговой службы) сбор налога

T = t (4 - і/4) = 8 • (4 - 8/4) = 16.

Интересно сопоставить эти цифры (х = 2, Птах = 7) с цифрами при отсутствии налогообложения. При t = О решение задачи на максимизацию прибыли дало следующие результаты (см. предыдущий пример): х = 4, Птах = 31.

 

Вывод: уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит при этом к увеличению прибыли от ее реализации.

 

Понятно, почему производители прикладывают столько усилий, чтобы снизить ставку налога. А

V Пример 6 (Минимизация средних издержек). Доказать с помощью теоремы Ферма экономический закон, согласно которому при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек.

Решение. Уровнем наиболее экономичного производства является такой, при котором средние издержки по производству товара минимальны. Средние издержки определяются как АС = С(х)/х, т. е. издержки по производству товара, деленные на произведенное его количество. По теореме Ферма в точке минимума функции С(х)/х производная этой функции равна нулю. Следовательно,

Подпись:

 

откуда

 

или МС

С'-х-С = 0,      С' = С/х, АС, что и требовалось доказать.

Вывод: при наиболее экономичном производстве достигается равенство средних и предельных издержек. А

 

10.2.  Использование логарифмической производной в экономике

Пусть y(t) — величина вклада в момент времени t (в годах). Можно ли определить (приближенно) годовую ставку банковского процента р по функции

Если проценты начисляются непрерывно, то, как мы уже знаем из п. 6.4,

y(t) = yoept?100,

где р — ежегодный процент прироста вклада, а г = р/100 — номинальная ставка за год. Найдем логарифмическую производную от величины вклада:

(In y)f = (In уо + rt)' = г.

 

Вывод: ставка банковского процента г совпадет с логарифмической производной от величины вклада.

Таким образом, логарифмическая производная денежного вклада характеризует его доходность. Это верно и в более общем случае, когда процентная ставка вклада постоянно меняется. В этом случае говорят, что логарифмическая производная денежного вклада выражает его мгновенную доходность.

Рассмотренный пример — не единственное применение логарифмической производной. С ее помощью можно получить мгновенную оценку доходности какого-либо актива.

Пусть A(t) — стоимость некоторого актива А в момент времени £, г — доходность от вложения денег в другие активы. Считаем, для простоты, что г не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив Л? Для ответа на данный вопрос найдем интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше г. Так как мгновенная доходность А совпадает с логарифмической производной его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством

(lnA(t))' > г.

Если это неравенство задает интервал (ti, £2), то актив А следует купить в момент t и продать в момент І2- Именно за это время произойдет наибольшее приращение А по сравнению с другими активами.

Относительная скорость (темп) изменения функции у = = f(x) определяется логарифмической производной

T, = (lny)' = ^.

(10.1)

 

V Пример 1. Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением

2/ = -2,5 • t2 + 15 • t + 100,

где 0 < t < 8 — рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.

Решение. Скорость изменения производительности труда выражается производной

y' = -5t + 15,

а темп ее изменения — логарифмической производной

гт,      /і    ч/     у'         -5 £ + 15

Tv =   In у) = — =      к          .

у    v   У)      у     -2,5-£2+ 15 -£ + 100

При t = 2 у'(2) = 5, Ту = 1/24 « 0,04.

При t = 7 у'(7) = -20, Ту = -8/33 « -0,24.

Итак, в момент t = 2 ч после начала работы скорость изменения производительности труда составила 5 ед./ч, а в момент t = 7 ч — (—20) ед./ч; относительная скорость (темп) изменения производительности труда составила соответственно 0,04 ед./ч и (—0,24) ед./ч. Знаки плюс и минус указывают на то, что в начале смены (при t = 2) наблюдалось увеличение производительности труда, а в конце смены (при t = 7) — ее снижение. А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |