Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

10.5.  экономия ресурсов

Решение некоторых примеров, связанных с экономией ресурсов, нами уже было рассмотрено в предыдущей главе при изучении темы «Разыскание оптимальных значений». Рассмотрим еще один.

V Пример. Найти наименьшее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью V = 2 л (запас на швы не учитывать).

Решение. Пусть поверхность банки S, радиус основания Я, высота Н. Требуется найти наименьшее значение площади поверхности цилиндра

S = 2тг RH + 2тг R2 (10.10)

при условии, что

тг R2H = V. (10.11) За аргумент удобно принять R. Из (10.10) и (10.11) находим:

8-1^ + **

Найдем производную этой функции:

S'(R) = 2 (--^ + 2тгя).

Аргумент изменяется в промежутке (0, +оо). В этом промежутке имеется единственная критическая точка

 

R — І/т~"~~ • (10.12) V 2 7г

Она и соответствует наименьшему значению S. Из (10.11) и (10.12) находим:

н= v

ttR2

т. е. высота банки должна равняться диаметру основания. Наименьшее количество жести, требуемое для изготовления банки, равно Яаим = 2 тг (R Н + R2) = 6 тг R2 = 3 л/2тгУ2 « 879 см2. А

Кофе, конфеты, мед, сгущенное молоко и другую продовольственную продукцию часто упаковывают в цилиндрические банки. При этом крышка, дно и боковая поверхность банки часто имеют разную толщину или же бывают сделаны из разных материалов (например, полиэтилен, пластмасса, картон и жесть). Предлагаем следующее обобщение предыдущей задачи:

Задача. Пусть каждый квадратный сантиметр крышки цилиндрической банки стоит а денежных единиц, дна банки — b денежных единиц, а боковой поверхности банки — с денежных единиц. Определить каково должно быть отношение высоты Н к диаметру банки D, чтобы при объеме V ее стоимость была наименьшей.

Указание. Объем V равен тт R2 Н. Откуда Я = V/(tt R2). Подставляя это выражение для Н в формулу стоимости P = a- 7rR2 + b- 7rR2 + c-27rRH, получим

Ответ: H/D = (а + Ь)/(2с).

Р(Я) = (а + 6)тг R2 + 2cV/R.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |