Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

11.2.  свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

 

f(x)dx)' = f(x)

 

□ (jf(x)dx)' = (F(x) + С)' = F'(x) + С = f(x) + 0 = f(x). I

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d

/(ж) dx^j = /(ж) dx.

□  d (f{x)dx) = I применим определение дифференциала! =

= Q/(#) dx^j dx = (применим свойство 1| = f(x) dx. Ш

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого С:

dF(x) = F(x) + C.

 

□ Пусть производная функции F(x) равна = J F'{x) dx = f{x)dx = F{x) + С.Ш

Таким образом, согласно свойствам 2 и 3, операции интегрирования и дифференцирования в некотором смысле взаимно

обратны (знаки d и J взаимно уничтожают друг друга, в случае

свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

kf(x)dx = к

f(x)dx,

 

где к — некоторое число, отличное от нуля.

□ Найдем производную функции g(x) = ^kf(x)dx — к J f(x) dx:

д'(*) = (

к f(x) dx — к

f(x)dxSj =

kf(x)dx^j — к ^ f(x)dx^j =

= (применим свойство 11 = к f(x) — к f(x) = 0.

По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что д(х) = С, и значит

к f(x) dx = к

f(x)dx + C.

 

Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в последнем равенстве постоянную С можно опустить. ■

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

(f(x)±g(x))dx =

f(x)dx ±

g(x) dx.

 

Доказательство аналогично доказательству свойства 4. Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.

V Пример. Найти |(4 х3 - 3 х2 + 2 х) dx.

Решение. Имеем:

(4ж3 -Зж2 + 2x)dx =

(4xs)dx

(3x2)dx +

(2x)dx =

 

= (x4 + Сі) - (x3 + C2) + (x2 + Cs) = x4-x3 + x2 + C,

где С = С і — c2 + C3. Заметим, что здесь нет необходимости выписывать при промежуточных вычислениях постоянное слагаемое для каждого интеграла. Достаточно приписать его после выполнения всех интегрирований. А

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |