Имя материала: Математика для социологов и экономистов

Автор: Азама́т Мухта́рович Ахтя́мов

11.3.  непосредственное интегрирование

Всякая формула дифференцирования, рассмотренная в обратном порядке, дает формулу интегрирования, например:

(е2ж + cos ж)' = 2е2ж - sin ж,

 

(2 е2х - sin х) dx = е2х + cos х + С.

 

Таким образом, из таблицы производных нетрудно получить таблицу интегралов (см. следующую страницу).

Справедливость каждой формулы проверяется непосредственно дифференцированием.

Например, формула 1 верна, так как (х + С)' = х' + С = 1.

Формула

Таблица интегралов

/0*0

f{x)dx

Подпись: + С1

ха   (а ф -1)

х + С

„а+1

а + 1

3

4

ех + С ах/1па + С

 

— (ха, а = х

-1)

In х + С

 

ж In а

oga х + С

COS X

sin X

sin х + С - cos х + С

9

 

10

 

cos2 x

 

sin2 ж

tgx + C -ctgx + С

11

 

12

 

Va2-,

(a > 0, —a < x < a) (а ф 0)

/ x2 + a

 

 

In

arcsin —hC a

с + л/ж2 + а

 

 

+ C

Подпись: + с

Подпись: 2 2
ж — а
13 14

 

ж + а

 

 

(а^О)

- arctg — + С

х — а

х + а

J-ln

 

следует из равенства

1

ка + 1 у а + 1 Докажем равенство

■ ж

а+1 _

-(« + 1)жа =Жа.

 

— б/ж = In х + С.

x

 

Пусть х > 0. Тогда |ж| = х и (In |ж| + С)' = (пх + С)' = —

Если х < 0, то |ж| = —х и (In |ж| + С) = (1п(—х) + С) = — = = 1,Т.,в„6о„хслуЧаях„Ро„зводНаярМ„а1

x x

Аналогично доказываются остальные формулы.

Интегрирование, основанное на прямом использовании таблицы интегралов, называется непосредственным интегрированием.

При непосредственном интегрировании могут представиться следующие случаи:

данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

данный интеграл после применения свойств 4 и 5 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3)         данный интеграл после элементарных тождественных

преобразований над подынтегральной функцией и применения

свойств 4 и 5 приводится к одному или нескольким табличным

интегралам.

Рассмотрим три примера, каждый из которых соответствует одному из трех случаев непосредственного интегрирования.

dx,

1

*  1 4

V Пример 1. Найти х3 dx,    —dx, f Vx^ dx,

J           x J

dx.

Решение. Все пять интегралов имеют вид: |жа dx. В первом

случае а = 3, во втором а = —3, в третьем а = 5/4, в четвертом а = —5/4 и в пятом а = — 1. В первых четырех случаях а ф — 1, поэтому применяем формулу 2:

^ск+1

ха dx =

а + 1

+ с.

5 5 При а. = 3. а. = —3, а = - и а = — - имеем:

4 4

 

 

—г dx =

х6

 

X

 

х

3+1

х3 dx =

3 + 1

-3+1

dx =

-3 + 1

+ с

 

+ С-

 

Подпись: 1
2х

 

^2+ С,

 

хъ dx —

х4 dx =

х

+ С = ^- + С =

4

+ С,

 

dx =

4+i

х 4 dx =           + С = ^—r + С = --^= + С.

-- + 1   -- Ух

В следующем примере формулу 2, с помощью которой были найдены предыдущие интегралы, использовать нельзя, так как а = — 1. Но этот интеграл также является табличным (формула 5):

х 1 dx =

— dx = In х + С. А

— ) dx.

Подпись: (J-Подпись: +

 

V Пример 2. Найти

\Ґх     5 cos2(ж) ж, Решение. Используя свойства 4 и 5 и формулы 2,5,9, имеем:

+

(- .

V у/х     5 cos2 (ж) х

dx = 3

1

W+ 5 dx

cos (ж)

-2

 

х

 

= 3^— + і tga;-2 lnx + C = -5 + 1 5

= 4,5 ¥x* + tgx - 2 In ж + С. A

5

Подпись: 1 + Заґ Подпись: of ж.
Подпись: x2(l + x2) (1 + ж2) + 2ж2
Подпись: dx =
Подпись: x2(l + x2) 2x2
Подпись: 2dx 1 + x2
Подпись: dx =
Подпись: xz(l + x2

V Пример 3. Найти

 

Решение.

1 + Зж2

x2(l + x2)

(1 + х2)

dx +

xz(l + xz

 

dx , —dx +

 

dx =

Подпись: 1=          + 2 arctg ж + С. A

Задача. Найти неопределенный интеграл Результат проверить дифференцированием.

Г3-2ж4+ у/х2

dx.

Ответ: 4 Vx^ - — ¥х^ +     Х\[х^ + С. 19 17

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 |